Opérations sur les nombres décimaux

1 - Addition et soustraction

Définition 1 : Le résultat d'une addition s'appelle une somme ; le résultat d'une soustraction s'appelle une différence. Les nombres que l'on additionne ou soustrait sont les termes.

Propriété 1 : Pour poser une addition ou une soustraction de nombres décimaux, on écrit les nombres les uns sous les autres en alignant les virgules (unités sous unités, dixièmes sous dixièmes, …). On peut compléter avec des zéros pour avoir autant de chiffres après la virgule.

$23{,}45 + 8{,}7 = 32{,}15$

$$\begin{array}{rr} & 23{,}45 \\ + & 8{,}7\textcolor{gray}{0} \\ \hline & 32{,}15 \end{array}$$

$15{,}2 - 7{,}86 = 7{,}34$

$$\begin{array}{rr} & 15{,}2\textcolor{gray}{0} \\ - & 7{,}86 \\ \hline & 7{,}34 \end{array}$$

Définition 2 : Un ordre de grandeur d'un résultat est une valeur proche de ce résultat, obtenue par un calcul simple (souvent mental) avec des nombres arrondis. Il permet de contrôler un calcul.

$23{,}45 + 8{,}7 \approx 23 + 9 = 32$ : le résultat $32{,}15$ est cohérent. $15{,}2 - 7{,}86 \approx 15 - 8 = 7$ : $7{,}34$ est cohérent.

Schéma en barres :

Léa a $12{,}50$ €. Elle achète un livre à $7{,}80$ €. Combien lui reste-t-il ?

Le schéma montre qu'il faut calculer une différence : $12{,}50 - 7{,}80 = 4{,}70$. Il reste $4{,}70$ € à Léa.

Remarque : En calcul mental, on cherche à « faire des unités rondes » : $6{,}8 + 2{,}2 = 9$ ; $4{,}7 + 3{,}5 = 4{,}7 + 0{,}3 + 3{,}2 = 8{,}2$ ; $10 - 3{,}6 = 6{,}4$.

2 - Multiplier par 10, 100, 1 000 et par 0,1 ; 0,01 ; 0,001

Propriété 2 : Multiplier un nombre par $10$, $100$ ou $1~000$, c'est rendre chacun de ses chiffres $10$, $100$ ou $1~000$ fois plus grand : la virgule se décale de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite.

Propriété 3 : Multiplier un nombre par $0{,}1$ ; $0{,}01$ ou $0{,}001$, c'est le diviser par $10$, $100$ ou $1~000$ : la virgule se décale de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche.

• $3{,}47 \times 100 = 347$ • $5{,}2 \times 1~000 = 5{,}2\textcolor{gray}{00} \times 1~000 = 5~200$

• $34 \times 0{,}1 = 34 \div 10 = 3{,}4$ • $7{,}5 \times 0{,}01 = 7{,}5 \div 100 = 0{,}075$

Remarque : $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$ : multiplier par $0{,}1$, c'est prendre un dixième du nombre. Le résultat est donc plus petit que le nombre de départ.

3 - Produit de deux nombres décimaux

Définition 3 : Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit. Les nombres que l'on multiplie sont les facteurs.

Sens du produit avec une aire : on partage un carré de côté $1$ en $10 \times 10 = 100$ petits carreaux : chaque carreau vaut un centième ($0{,}01$). Le rectangle coloré mesure $0{,}4$ sur $0{,}3$ : il contient $4 \times 3 = 12$ carreaux, donc son aire vaut $12$ centièmes.

$$0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$$

Sens du produit avec les conversions : un rectangle mesure $2{,}5$ m sur $1{,}2$ m, soit $25$ dm sur $12$ dm. Son aire vaut $25 \times 12 = 300$ dm², soit $3$ m². Donc $2{,}5 \times 1{,}2 = 3$.

Propriété 4 : Pour multiplier deux nombres décimaux : on effectue la multiplication sans tenir compte des virgules ; le résultat a autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs réunis.

$$\begin{array}{rr} & 3{,}25 \\ \times & 1{,}4 \\ \hline & 1300 \\ + & 3250\phantom{0} \\ \hline & 4{,}550 \end{array}$$

On calcule $325 \times 14 = 4~550$. $3{,}25$ a $2$ chiffres après la virgule et $1{,}4$ en a $1$ : le produit en a $2 + 1 = 3$. Donc $3{,}25 \times 1{,}4 = 4{,}550 = 4{,}55$. Contrôle : $3 \times 1{,}5 = 4{,}5$ : le résultat est cohérent.

Propriété 5 : Dans un produit, on peut changer l'ordre des facteurs sans changer le résultat (commutativité) : $a \times b = b \times a$.

Propriété 6 : Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut regrouper les facteurs comme on veut sans changer le résultat (associativité) : $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.

Ces propriétés permettent de calculer astucieusement :

$2{,}5 \times 7{,}3 \times 4 = (2{,}5 \times 4) \times 7{,}3 = 10 \times 7{,}3 = 73$ $0{,}5 \times 3{,}9 \times 20 = (0{,}5 \times 20) \times 3{,}9 = 10 \times 3{,}9 = 39$

4 - Division décimale par un nombre entier

Définition 4 : Dans la division $a \div b$, $a$ est le dividende, $b$ est le diviseur et le résultat est le quotient. Le quotient de $a$ par $b$ peut aussi s'écrire sous forme de fraction : $a \div b = \dfrac{a}{b}$.

Propriété 7 : Pour poser une division décimale, on divise comme pour les entiers. Quand on abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende, on place la virgule au quotient. On peut ajouter des zéros après le dernier chiffre du dividende pour continuer la division.

$17{,}4 \div 6 = 2{,}9$

$$\begin{array}{r|l} 17{,}4 & \; 6 \\ \cline{2-2} -12\phantom{,4} & \; 2{,}9 \\ 5\;4 & \\ -5\;4 & \\ 0 & \end{array}$$

$7 \div 4 = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$

$$\begin{array}{r|l} 7{,}\textcolor{gray}{00} & \; 4 \\ \cline{2-2} -4\phantom{,00} & \; 1{,}75 \\ 3\;0\phantom{0} & \\ -2\;8\phantom{0} & \\ 2\;0 & \\ -2\;0 & \\ 0 & \end{array}$$

Remarque : Une division est exacte quand on finit par trouver un reste nul ($7 \div 4 = 1{,}75$). Sinon, la division « ne s'arrête jamais » : on donne une valeur approchée du quotient. Par exemple $10 \div 3 = 3{,}333\dots$ donc $\dfrac{10}{3} \approx 3{,}33$ (arrondi au centième).

5 - Division euclidienne

Définition 5 : Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier $a$ (le dividende) par un nombre entier $b$ non nul (le diviseur), c'est trouver deux nombres entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que : $a = b \times q + r$ avec $r < b$.

$$\begin{array}{r|l} 157 & \; 12 \\ \cline{2-2} -12\phantom{7} & \; 13 \\ 37 & \\ -36 & \\ 1 & \end{array}$$

Division euclidienne de $157$ par $12$ : le quotient est $13$ et le reste est $1$. On écrit : $157 = 12 \times 13 + 1$ avec $1 < 12$.

Application concrète : on range $157$ œufs dans des boîtes de $12$. $157 = 12 \times 13 + 1$ : on remplit 13 boîtes et il reste 1 œuf. Pour ranger tous les œufs, il faut donc 14 boîtes.