Repérage et comparaison des nombres décimaux

1 - Repérage sur une demi-droite graduée

Définition 1 : Une demi-droite graduée est une demi-droite sur laquelle on a choisi un point de départ, l'origine (qui correspond au nombre $0$), et une unité de longueur que l'on reporte régulièrement.

Définition 2 : Sur une demi-droite graduée, chaque point est repéré par un nombre appelé son abscisse.

Ici, l'unité est partagée en $10$ parts égales : chaque petite graduation vaut un dixième ($0{,}1$).

L'abscisse du point A est $0{,}7$ ; celle du point B est $1{,}4$ ; celle du point C est $2{,}9$. On note : A$(0{,}7)$ ; B$(1{,}4)$ ; C$(2{,}9)$.

Pour placer des nombres plus précis, on « zoome » : entre $1{,}4$ et $1{,}5$, on partage en $10$ parts égales. Chaque petite graduation vaut alors un centième ($0{,}01$).

D$(1{,}43)$ ; E$(1{,}48)$.

2 - Comparaison de nombres décimaux

Définition 3 : Comparer deux nombres, c'est dire s'ils sont égaux ou lequel est le plus grand.

Symbole	Se lit	Exemple
$<$	« est inférieur à »	$3{,}2 < 5$
$>$	« est supérieur à »	$7 > 6{,}9$
$\leqslant$	« est inférieur ou égal à »	$2{,}5 \leqslant 2{,}50$
$\geqslant$	« est supérieur ou égal à »	$8{,}1 \geqslant 8$

Propriété 1 : Pour comparer deux nombres décimaux : on compare d'abord leurs parties entières (le plus grand nombre est celui qui a la plus grande partie entière) ; si les parties entières sont égales, on compare les chiffres des dixièmes, puis si besoin ceux des centièmes, puis des millièmes, …

• Comparer $12{,}7$ et $9{,}85$ : $12 > 9$ donc $12{,}7 > 9{,}85$.

• Comparer $4{,}36$ et $4{,}4$ : même partie entière ($4$) ; chiffre des dixièmes : $3 < 4$ donc $4{,}36 < 4{,}4$.

• Comparer $0{,}52$ et $0{,}517$ : $0{,}52 = 0{,}520$ ; on compare $520$ millièmes et $517$ millièmes, donc $0{,}52 > 0{,}517$.

Remarque : Attention, le nombre qui a « le plus de chiffres » n'est pas forcément le plus grand : $4{,}36 < 4{,}4$. On peut ajouter des zéros à droite de la partie décimale pour avoir autant de chiffres : $4{,}4 = 4{,}40$.

Propriété 2 : Sur une demi-droite graduée, de deux nombres, le plus grand est celui dont le point est situé le plus à droite.

Définition 4 : Ranger des nombres dans l'ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand. Les ranger dans l'ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.

Ordre croissant de $5{,}1$ ; $5{,}09$ ; $15$ ; $5{,}19$ : $5{,}09 < 5{,}1 < 5{,}19 < 15$.

Ordre décroissant des mêmes nombres : $15 > 5{,}19 > 5{,}1 > 5{,}09$.

3 - Encadrement et intercalation

Définition 5 : Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand que lui. On l'encadre à l'unité, au dixième, au centième, … quand l'écart entre ces deux nombres vaut $1$, $0{,}1$, $0{,}01$, …

Encadrements du nombre $7{,}368$ :

à l'unité : $7 < 7{,}368 < 8$
au dixième : $7{,}3 < 7{,}368 < 7{,}4$
au centième : $7{,}36 < 7{,}368 < 7{,}37$

Propriété 3 : Entre deux nombres décimaux différents, on peut toujours intercaler (placer) un autre nombre décimal. Il y en a même une infinité.

Entre $2{,}5$ et $2{,}6$ : $2{,}5 < 2{,}53 < 2{,}6$ ou encore $2{,}5 < 2{,}5001 < 2{,}6$.

Entre $3$ et $3{,}1$ : $3 < 3{,}05 < 3{,}1$.

4 - Valeur arrondie d'un nombre

Définition 6 : La valeur arrondie d'un nombre à l'unité (au dixième, au centième, …) est le nombre de l'encadrement à l'unité (au dixième, au centième, …) qui est le plus proche de ce nombre.

Propriété 4 : Pour arrondir, on regarde le chiffre situé juste après le rang demandé : si c'est $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$, on garde le nombre de l'encadrement le plus petit ; si c'est $5$, $6$, $7$, $8$ ou $9$, on prend le nombre de l'encadrement le plus grand.

Exemple avec le nombre $7{,}368$ :

Arrondi	Encadrement	Chiffre regardé	Valeur arrondie
à l'unité	$7 < 7{,}368 < 8$	3 (dixièmes) : on garde	$7$
au dixième	$7{,}3 < 7{,}368 < 7{,}4$	6 (centièmes) : on monte	$7{,}4$
au centième	$7{,}36 < 7{,}368 < 7{,}37$	8 (millièmes) : on monte	$7{,}37$

Remarque : On utilise le symbole $\approx$ (« environ égal à ») : $7{,}368 \approx 7{,}4$.

Cas des nombres non décimaux

Certains nombres ne sont pas décimaux : leur partie décimale ne s'arrête jamais. On ne peut pas les écrire exactement avec une virgule, on utilise alors une valeur arrondie.

• $\dfrac{1}{3} = 1 \div 3 = 0{,}3333\dots$ (les $3$ ne s'arrêtent jamais) : $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ (arrondi au centième).