Définition et multiples écritures d'un nombre décimal
1 - Définition d'un nombre décimal
Définition 1 : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est $10$, $100$, $1~000$, $10~000$, …
Définition 2 : Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.
$\dfrac{7}{10}$ ; $\dfrac{253}{100}$ ; $\dfrac{41}{1~000}$ sont des fractions décimales : ce sont des nombres décimaux.
$\dfrac{3}{4}$ n'est pas une fraction décimale, mais $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}$ : c'est donc aussi un nombre décimal.
Remarque : $10$, $100$, $1~000$, … sont appelés des puissances de 10. Le dénominateur d'une fraction décimale est toujours une puissance de 10.
2 - Nombre entier et nombre décimal
Propriété 1 : Tout nombre entier est un nombre décimal.
$2 = 2{,}0 = 2{,}00$ et $2 = \dfrac{20}{10} = \dfrac{200}{100}$ : le nombre entier $2$ est donc aussi un nombre décimal.
En revanche, $5{,}3$ est un nombre décimal mais ce n'est pas un nombre entier (sa partie décimale n'est pas nulle).
3 - Diverses écritures d'un nombre décimal
Un même nombre décimal peut s'écrire de plusieurs façons. Prenons l'exemple du nombre $3{,}47$ :
| Écriture | Exemple | Explication |
|---|---|---|
| Écriture à virgule | $3{,}47$ | 3 unités, 4 dixièmes, 7 centièmes |
| Fraction décimale | $3{,}47 = \dfrac{347}{100}$ | il y a 347 centièmes dans 3,47 |
| Nombre mixte | $3{,}47 = 3 + \dfrac{47}{100}$ | partie entière + fraction inférieure à 1 |
| Décomposition | $3{,}47 = 3 + \dfrac{4}{10} + \dfrac{7}{100}$ | chiffre par chiffre |
| Pourcentage | $3{,}47 = \dfrac{347}{100} = 347~\%$ | sur 100 |
Propriété 2 : Pour passer de l'écriture à virgule à la fraction décimale, on écrit au numérateur le nombre sans la virgule et au dénominateur $10$, $100$ ou $1~000$ selon qu'il y a $1$, $2$ ou $3$ chiffres après la virgule.
Propriété 3 : $a~\%$ est une autre écriture de la fraction $\dfrac{a}{100}$.
Autres exemples :
| Écriture à virgule | Fraction décimale | Nombre mixte | Pourcentage |
|---|---|---|---|
| $0{,}25$ | $\dfrac{25}{100}$ | $0 + \dfrac{25}{100}$ | $25~\%$ |
| $1{,}5$ | $\dfrac{15}{10} = \dfrac{150}{100}$ | $1 + \dfrac{5}{10}$ | $150~\%$ |
| $2{,}08$ | $\dfrac{208}{100}$ | $2 + \dfrac{8}{100}$ | $208~\%$ |
| $0{,}7$ | $\dfrac{7}{10} = \dfrac{70}{100}$ | $0 + \dfrac{7}{10}$ | $70~\%$ |
Remarque : $100~\% = \dfrac{100}{100} = 1$ : prendre $100~\%$ d'une quantité, c'est la prendre en entier.