Le losange
1 - Définition et propriétés du losange
Définition 1 : On appelle losange un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
AB $=$ BC $=$ CD $=$ DA
Propriété 1 : Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Justification :
Hypothèse : ABCD est un losange. Propriété : un losange a quatre côtés de même longueur. Conclusion : AB $=$ BC $=$ CD $=$ DA.
Hypothèse : AB $=$ AD et CB $=$ CD. Propriété : si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à sa médiatrice. Conclusion : A et C appartiennent à la médiatrice de [BD], donc (AC) est la médiatrice de [BD].
Hypothèse : (AC) est la médiatrice de [BD]. Propriété : la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment en son milieu. Conclusion : (AC) $\perp$ (BD).
Remarque : On en déduit aussi que (AC) coupe [BD] en son milieu. De même, (BD) est la médiatrice de [AC], donc (BD) coupe [AC] en son milieu.
Propriété 2 : Si un quadrilatère est un losange, alors c'est un parallélogramme.
Justification : ABCD est un losange donc, d'après la remarque, [AC] et [BD] ont le même milieu. Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, c'est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.
Remarque : Conséquences : les côtés opposés du losange sont parallèles ; ses angles opposés ont la même mesure. Pour construire simplement un losange, on utilise les propriétés de ses diagonales (perpendiculaires et de même milieu).
2 - Caractérisation du losange
Propriété 3 : Si un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
Propriété 4 : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.
Remarque : Attention : un quadrilatère quelconque dont les diagonales sont perpendiculaires n'est pas forcément un losange (exemple : le cerf-volant).