Angles et parallélisme
1 - Rappels et compléments sur les angles
Définition 1 : On appelle angle géométrique une figure formée par deux demi-droites de même origine. Sa mesure est comprise entre $0°$ et $180°$.
Rappel : les angles connus.
Définition 2 : Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun et qu'ils sont de part et d'autre de ce côté commun.
$\widehat{\text{AOB}}$ et $\widehat{\text{BOC}}$ sont adjacents : $\widehat{\text{AOC}} = \widehat{\text{AOB}} + \widehat{\text{BOC}}$.
Définition 3 : Des angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à $90°$.
Définition 4 : Des angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à $180°$.
De nouveaux angles :
2 - Égalités angulaires et parallélisme
Propriété 1 : Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.
$\widehat{\text{AEC}} = \widehat{\text{BED}}$ ; $\widehat{\text{AED}} = \widehat{\text{CEB}}$
Justification : soit A, O et B trois points non alignés, A' le symétrique de A et B' le symétrique de B par rapport à O. Les angles $\widehat{\text{AOB}}$ et $\widehat{\text{A'OB'}}$ sont symétriques par rapport à O. Or, si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure. Donc $\widehat{\text{AOB}} = \widehat{\text{A'OB'}}$.
Propriété 2 : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles forment des angles alternes-internes de même mesure.
Si (OA) // (O'A') alors $\widehat{\text{AOO'}} = \widehat{\text{OO'A'}}$.
Propriété 3 : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles forment des angles correspondants de même mesure.
Si (AD) // (BC) alors $\widehat{\text{EAD}} = \widehat{\text{ABC}}$.
Propriété 4 : Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Si $\widehat{\text{AOO'}} = \widehat{\text{OO'A'}}$ alors (OA) // (O'A').
Propriété 5 : Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Si $\widehat{\text{EAD}} = \widehat{\text{ABC}}$ alors (AD) // (BC).