Exercices corrigés : Médiatrice et cercle circonscrit
Exercice 1 : Vocabulaire
Recopier et compléter : « La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par … et qui est … à ce segment. »
Corrigé détaillé :
le milieu du segment ; perpendiculaire.
Exercice 2 : Équidistance
$(d)$ est la médiatrice de [EF]. Le point K est sur $(d)$ et KE $= 6{,}2$ cm. Que vaut KF ? Justifier.
Corrigé détaillé :
Un point de la médiatrice est équidistant des extrémités : KF $= 6{,}2$ cm.
Exercice 3 : Réciproque
On sait que RA $=$ RB $= 4$ cm et SA $=$ SB $= 7$ cm, avec R et S distincts. Que représente la droite (RS) pour le segment [AB] ?
Corrigé détaillé :
R et S sont équidistants de A et B, donc tous deux sur la médiatrice : (RS) est la médiatrice de [AB].
Exercice 4 : Construire au compas
Tracer un segment [MN] de $7$ cm et construire sa médiatrice au compas. Décrire les étapes.
Corrigé détaillé :
Écartement supérieur à $3{,}5$ cm ; arcs de centres M et N au-dessus et au-dessous ; les deux points d'intersection définissent la médiatrice.
Exercice 5 : Cercle circonscrit
Construire un triangle ABC avec AB $= 6$ cm, BC $= 5$ cm et AC $= 4$ cm, puis son cercle circonscrit. Expliquer la méthode.
Corrigé détaillé :
On trace deux médiatrices (par exemple de [AB] et [AC]) ; leur intersection O est le centre ; le rayon est OA.
Exercice 6 : Distances au centre
O est le centre du cercle circonscrit au triangle EFG et OE $= 3{,}5$ cm. Que valent OF et OG ? Quel est le diamètre du cercle ?
Corrigé détaillé :
OF $=$ OG $= 3{,}5$ cm ; diamètre $7$ cm.
Exercice 7 : Rédiger
Le point I est sur la médiatrice de [AB] et sur la médiatrice de [BC]. Démontrer que IA $=$ IC.
Corrigé détaillé :
I sur la médiatrice de [AB] : IA $=$ IB. I sur la médiatrice de [BC] : IB $=$ IC. Donc IA $=$ IC.
Exercice 8 : Triangle rectangle
Construire un triangle RST rectangle en R puis son cercle circonscrit. Que remarque-t-on sur la position du centre ?
Corrigé détaillé :
Le centre est le milieu de l'hypoténuse [ST].
Exercice 9 : Le point équidistant
Trois maisons A, B et C forment un triangle. On veut placer un puits à la même distance des trois maisons. Où le placer ?
Corrigé détaillé :
Au centre du cercle circonscrit du triangle ABC (intersection des médiatrices).
Exercice 10 : Problème : retrouver le centre
On a dessiné un cercle mais on a perdu son centre. Comment le retrouver avec une règle et un compas ?
Corrigé détaillé :
On place trois points A, B, C sur le cercle : le cercle est circonscrit à ABC, donc son centre est l'intersection des médiatrices de [AB] et [BC].