Nombres en écriture fractionnaire
1 - Rappels : critères de divisibilité
Comment savoir si un nombre a pour diviseur $2$, $3$ ou $5$ sans faire la division ?
- $2$ : un nombre entier a pour diviseur $2$ si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$. Exemple : $234 = 117 \times 2$.
- $3$ : un nombre entier a pour diviseur $3$ si la somme de ses chiffres a pour diviseur $3$. Exemple : $2 + 3 + 4 = 9$, donc $234 = 78 \times 3$.
- $5$ : un nombre entier a pour diviseur $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$. Exemple : $170 = 34 \times 5$.
Remarque : Calcul mental : pour diviser par $5$, on divise par $10$ puis on multiplie le résultat par $2$.
2 - Fractions et nombres décimaux
Définition 1 : On appelle fraction le nombre noté $\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant différent de zéro, tel que : $$\dfrac{a}{b} = a \div b \text{ avec } b \neq 0$$
Vocabulaire : $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur de la fraction.
Propriété 1 : Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme d'une fraction.
- $25{,}4 = \dfrac{254}{10} = \dfrac{2~540}{100} = \dfrac{25~400}{1~000}$
- $52 = \dfrac{52}{1} = \dfrac{520}{10} = \dfrac{5~200}{100}$
- $0{,}007 = \dfrac{7}{1~000} = \dfrac{70}{10~000}$
Remarque : Avec les fractions, on dispose de nouveaux nombres : certaines fractions ont une écriture décimale, mais pas toutes.
- $\dfrac{5}{2} = 5 \div 2 = 2{,}5$ : $\dfrac{5}{2}$ a une écriture décimale.
- $\dfrac{1}{3} = 1 \div 3 = 0{,}3333\ldots$ : $\dfrac{1}{3}$ n'a pas d'écriture décimale. C'est un nouveau nombre !
3 - Représenter une fraction sur une droite graduée
Propriété 2 : Pour placer la fraction $\dfrac{a}{b}$ sur une droite graduée, on partage les unités en $b$ parts égales (découpage des unités), puis on compte $a$ parts (nombre de parts) en commençant à zéro.
Plaçons $\dfrac{5}{8}$ : on découpe l'unité en $8$ parts égales, puis on en compte $5$ en partant de $0$. Le point A a pour abscisse $\dfrac{5}{8}$.
Plaçons $\dfrac{10}{3}$ : on découpe chaque unité en $3$ parts égales, puis on en compte $10$ en partant de $0$. Le point B a pour abscisse $\dfrac{10}{3}$.