Exercices corrigés : Addition et multiplication
Exercice 1 : Vocabulaire de l'addition et de la multiplication
Pour chacune des égalités suivantes, préciser s'il s'agit d'une addition ou d'une multiplication, nommer les nombres intervenant dans l'opération (termes ou facteurs), puis nommer le résultat obtenu (somme ou produit) :
- $18 + 27 = 45$
- $6 \times 7 = 42$
- $3{,}5 + 14{,}2 = 17{,}7$
- $0{,}4 \times 25 = 10$
Corrigé détaillé :
1. $18 + 27 = 45$ est une addition. Les nombres $18$ et $27$ sont les termes, et $45$ est la somme.
2. $6 \times 7 = 42$ est une multiplication. Les nombres $6$ et $7$ sont les facteurs, et $42$ est le produit.
3. $3{,}5 + 14{,}2 = 17{,}7$ est une addition. $3{,}5$ et $14{,}2$ sont les termes, et $17{,}7$ est la somme.
4. $0{,}4 \times 25 = 10$ est une multiplication. $0{,}4$ et $25$ sont les facteurs, et $10$ est le produit.
Exercice 2 : Propriété de commutativité de l'addition
1. Énoncer la propriété de commutativité de l'addition et donner sa formule littérale.
2. Recopier et compléter les égalités suivantes :
a) $48 + 75 = \dots + 48$ b) $12{,}6 + 8{,}9 = 8{,}9 + \dots$ c) $x + 15 = \dots + x$
3. En permutant judicieusement les deux termes, calculer mentalement :
a) $8 + 74$ b) $1{,}3 + 56$
Corrigé détaillé :
1. Propriété 1 : On peut permuter les termes d'une addition sans changer sa somme : $$a + b = b + a$$
2. Compléter :
a) $48 + 75 = \mathbf{75} + 48 = \textcolor{#D93025}{123}$
b) $12{,}6 + 8{,}9 = 8{,}9 + \mathbf{12{,}6} = \textcolor{#D93025}{21{,}5}$
c) $x + 15 = \mathbf{15} + x$
3. Calculs mentaux :
a) $8 + 74 = 74 + 8 = \textcolor{#D93025}{82}$ (il est plus simple d'ajouter $8$ à $74$ que $74$ à $8$).
b) $1{,}3 + 56 = 56 + 1{,}3 = \textcolor{#D93025}{57{,}3}$.
Exercice 3 : Regroupements astucieux dans une suite d'additions (Nombres entiers)
Calculer les sommes suivantes de manière astucieuse en détaillant toutes les étapes (regrouper les termes qui donnent des dizaines ou centaines rondes) :
$$A = 17 + 54 + 23$$
$$B = 65 + 38 + 35$$
$$C = 12 + 84 + 88 + 16$$
$$D = 125 + 73 + 75 + 27$$
Corrigé détaillé :
Pour chaque somme, on applique la commutativité et l'associativité :
$$A = (17 + 23) + 54 = 40 + 54 = \textcolor{#D93025}{94}$$
$$B = (65 + 35) + 38 = 100 + 38 = \textcolor{#D93025}{138}$$
$$C = (12 + 88) + (84 + 16) = 100 + 100 = \textcolor{#D93025}{200}$$
$$D = (125 + 75) + (73 + 27) = 200 + 100 = \textcolor{#D93025}{300}$$
Exercice 4 : Calculs astucieux de sommes avec des nombres décimaux
Calculer de façon astucieuse en regroupant les termes dont les parties décimales sont complémentaires :
$$E = 3{,}4 + 8{,}9 + 6{,}6$$
$$F = 12{,}75 + 6{,}4 + 7{,}25$$
$$G = 0{,}8 + 4{,}3 + 9{,}2 + 5{,}7$$
$$H = 15{,}15 + 8{,}6 + 4{,}85 + 1{,}4$$
Corrigé détaillé :
$$E = (3{,}4 + 6{,}6) + 8{,}9 = 10 + 8{,}9 = \textcolor{#D93025}{18{,}9}$$
$$F = (12{,}75 + 7{,}25) + 6{,}4 = 20 + 6{,}4 = \textcolor{#D93025}{26{,}4}$$
$$G = (0{,}8 + 9{,}2) + (4{,}3 + 5{,}7) = 10 + 10 = \textcolor{#D93025}{20}$$
$$H = (15{,}15 + 4{,}85) + (8{,}6 + 1{,}4) = 20 + 10 = \textcolor{#D93025}{30}$$
Exercice 5 : La soustraction n'a pas les propriétés de l'addition
1. Calculer d'une part $20 - 7$ et d'autre part $7 - 20$. Que constate-t-on ?
2. Calculer d'une part $(35 - 15) - 5$ et d'autre part $35 - (15 - 5)$.
3. Que peut-on en conclure concernant l'associativité de la soustraction ?
4. Peut-on changer l'ordre des termes ou déplacer les parenthèses dans une suite de soustractions ? Justifier.
Corrigé détaillé :
1. $20 - 7 = \textcolor{#D93025}{13}$ alors que $7 - 20 = \textcolor{#D93025}{-13}$. Comme $13 \neq -13$, la soustraction n'est pas commutative : permuter les termes change le résultat.
2. $(35 - 15) - 5 = 20 - 5 = \textcolor{#D93025}{15}$.
Et $35 - (15 - 5) = 35 - 10 = \textcolor{#D93025}{25}$.
3. Les résultats sont différents ($15 \neq 25$), donc la soustraction n'est pas associative.
4. Non, dans une soustraction, l'ordre des termes et la place des parenthèses doivent être scrupuleusement respectés, sinon le résultat est faussé.
Exercice 6 : Propriété de commutativité de la multiplication
1. Énoncer la propriété de commutativité de la multiplication et donner sa formule générale.
2. Compléter les égalités :
a) $25 \times 17 = \dots \times 25$ b) $1{,}5 \times 8 = 8 \times \dots$ c) $y \times 6 = \dots \times y$
3. En permutant judicieusement les facteurs, calculer mentalement :
a) $2 \times 39 \times 5$ b) $4 \times 17 \times 25$ c) $50 \times 13 \times 2$
Corrigé détaillé :
1. Propriété 3 : On peut permuter les facteurs d'une multiplication sans changer son produit : $$a \times b = b \times a$$
2. Compléter :
a) $25 \times 17 = \mathbf{17} \times 25 = \textcolor{#D93025}{425}$
b) $1{,}5 \times 8 = 8 \times \mathbf{1{,}5} = \textcolor{#D93025}{12}$
c) $y \times 6 = \mathbf{6} \times y$
3. Calculs mentaux :
a) $2 \times 39 \times 5 = (2 \times 5) \times 39 = 10 \times 39 = \textcolor{#D93025}{390}$
b) $4 \times 17 \times 25 = (4 \times 25) \times 17 = 100 \times 17 = \textcolor{#D93025}{1~700}$
c) $50 \times 13 \times 2 = (50 \times 2) \times 13 = 100 \times 13 = \textcolor{#D93025}{1~300}$
Exercice 7 : Regroupements astucieux de facteurs (Nombres entiers)
Calculer astucieusement les produits suivants en mettant en évidence les couples de facteurs remarquables ($2 \times 5 = 10$, $4 \times 25 = 100$, $8 \times 125 = 1~000$) :
$$I = 5 \times 47 \times 2$$
$$J = 25 \times 7 \times 4$$
$$K = 8 \times 19 \times 125$$
$$L = 2 \times 25 \times 5 \times 4$$
Corrigé détaillé :
$$I = (5 \times 2) \times 47 = 10 \times 47 = \textcolor{#D93025}{470}$$
$$J = (25 \times 4) \times 7 = 100 \times 7 = \textcolor{#D93025}{700}$$
$$K = (8 \times 125) \times 19 = 1~000 \times 19 = \textcolor{#D93025}{19~000}$$
$$L = (2 \times 5) \times (25 \times 4) = 10 \times 100 = \textcolor{#D93025}{1~000}$$
Exercice 8 : Calculs astucieux de produits avec des nombres décimaux
Calculer les produits suivants de manière astucieuse en utilisant les produits décimaux remarquables ($2{,}5 \times 4 = 10$, $0{,}5 \times 2 = 1$, $1{,}25 \times 8 = 10$, $5 \times 0{,}2 = 1$) :
$$M = 2{,}5 \times 7{,}8 \times 4$$
$$N = 0{,}5 \times 34 \times 2$$
$$O = 1{,}25 \times 9 \times 8$$
$$P = 5 \times 3{,}14 \times 0{,}2$$
Corrigé détaillé :
$$M = (2{,}5 \times 4) \times 7{,}8 = 10 \times 7{,}8 = \textcolor{#D93025}{78}$$
$$N = (0{,}5 \times 2) \times 34 = 1 \times 34 = \textcolor{#D93025}{34}$$
$$O = (1{,}25 \times 8) \times 9 = 10 \times 9 = \textcolor{#D93025}{90}$$
$$P = (5 \times 0{,}2) \times 3{,}14 = 1 \times 3{,}14 = \textcolor{#D93025}{3{,}14}$$
Exercice 9 : La division n'a pas les propriétés de la multiplication
1. Calculer d'une part $40 \div 8$ et d'autre part $8 \div 40$. Que peut-on en déduire concernant la commutativité de la division ?
2. Calculer d'une part $(100 \div 10) \div 2$ et d'autre part $100 \div (10 \div 2)$.
3. Que peut-on en conclure concernant l'associativité de la division ?
4. Pourquoi doit-on calculer de gauche à droite lorsqu'une expression ne comporte que des divisions sans parenthèses ?
Corrigé détaillé :
1. $40 \div 8 = \textcolor{#D93025}{5}$ alors que $8 \div 40 = \textcolor{#D93025}{0{,}2}$. Comme $5 \neq 0{,}2$, la division n'est pas commutative.
2. $(100 \div 10) \div 2 = 10 \div 2 = \textcolor{#D93025}{5}$.
Et $100 \div (10 \div 2) = 100 \div 5 = \textcolor{#D93025}{20}$.
3. Comme $5 \neq 20$, on a $(100 \div 10) \div 2 \neq 100 \div (10 \div 2)$. La division n'est pas associative : on ne peut pas regrouper les nombres comme on le souhaite.
4. Puisque la division n'est pas associative, l'ordre d'exécution est primordial : sans parenthèses, la convention universelle impose d'effectuer les divisions de gauche à droite pour éviter toute ambiguïté.
Exercice 10 : Problèmes concrets résolus par calcul astucieux
1. Problème 1 (Achats de fournitures) :
Sarah achète un classeur à $4{,}30$ €, une trousse à $7{,}50$ €, un lot de stylos à $5{,}70$ € et une règle à $2{,}50$ €.
Écrire une seule expression pour calculer le montant total dépensé, puis la calculer astucieusement en détaillant les étapes.
2. Problème 2 (Périmètre d'un parcours sportif) :
Un parcours de cross a une forme polygonale à $5$ côtés mesurant respectivement $28$ m, $17$ m, $32$ m, $43$ m et $50$ m.
Calculer la longueur totale du parcours le plus rapidement possible sans poser d'opération en colonnes.
3. Problème 3 (Livraison de cantine) :
Pour le restaurant scolaire, le gestionnaire commande $4$ caisses contenant chacune $12$ bidons de $2{,}5$ L de jus de pomme.
Écrire l'expression du volume total en litres, puis calculer astucieusement ce volume.
Corrigé détaillé :
1. Montant total des achats :
$$T = 4{,}30 + 7{,}50 + 5{,}70 + 2{,}50$$
On regroupe les termes complémentaires pour obtenir des nombres entiers :
$$T = (4{,}30 + 5{,}70) + (7{,}50 + 2{,}50) = 10 + 10 = \textcolor{#D93025}{20\text{ €}}$$
Sarah a dépensé exactement $20$ €.
2. Périmètre du parcours :
$$P = 28 + 17 + 32 + 43 + 50$$
On associe les termes se terminant par $8$ et $2$, puis $7$ et $3$ :
$$P = (28 + 32) + (17 + 43) + 50 = 60 + 60 + 50 = \textcolor{#D93025}{170\text{ m}}$$
La longueur totale du parcours est de $170$ m.
3. Volume total de jus de pomme :
$$V = 4 \times 12 \times 2{,}5$$
On permute et regroupe astucieusement $4$ et $2{,}5$ car $4 \times 2{,}5 = 10$ :
$$V = (4 \times 2{,}5) \times 12 = 10 \times 12 = \textcolor{#D93025}{120\text{ L}}$$
Le volume total commandé est de $120$ litres.