Exercices corrigés : Proportionnalité
Exercice 1 : Reconnaître un tableau de proportionnalité
Les tableaux suivants représentent-ils une situation de proportionnalité ? Justifier par des calculs de quotients.
Tableau 1 :
| x | 3 | 5 | 8 |
| y | 7,5 | 12,5 | 20 |
Tableau 2 :
| x | 2 | 4 | 6 |
| y | 5 | 9 | 13 |
Corrigé :
• Tableau 1 :
$\dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5$ ; $\dfrac{12{,}5}{5} = 2{,}5$ ; $\dfrac{20}{8} = 2{,}5$.
Tous les quotients sont égaux à $2{,}5$.
Le tableau 1 est un tableau de proportionnalité de coefficient $2{,}5$.
• Tableau 2 :
$\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ mais $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$.
Comme les quotients ne sont pas égaux, le tableau 2 n'est pas un tableau de proportionnalité.
Exercice 2 : Quatrième proportionnelle et produit en croix
Dans chaque cas, déterminer la valeur inconnue $x$ :
1) $\dfrac{x}{6} = \dfrac{14}{21}$
2) $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{x}$
3) $\dfrac{3{,}5}{x} = \dfrac{7}{10}$
Corrigé :
1) Par le produit en croix : $x = \dfrac{6 \times 14}{21} = \dfrac{84}{21} =$ 4
2) Par le produit en croix : $x = \dfrac{8 \times 15}{5} = 8 \times 3 =$ 24
3) Par le produit en croix : $x = \dfrac{3{,}5 \times 10}{7} = \dfrac{35}{7} =$ 5
Exercice 3 : Calcul de pourcentages
1) Dans un collège de 600 élèves, $55\,\%$ sont des filles. Combien y a-t-il de filles ?
2) Dans une classe de 25 élèves, 18 font du sport en club. Quel est le pourcentage de sportifs dans cette classe ?
Corrigé :
1) Nombre de filles :
$N = 600 \times \dfrac{55}{100} = 6 \times 55 =$ 330 filles.
2) Pourcentage d'élèves sportifs :
$P = \dfrac{18}{25} = \dfrac{18 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{72}{100} =$ 72 %.
Exercice 4 : Augmentations et réductions en pourcentage
1) Un manteau affiché à $80\text{ €}$ bénéficie d'une remise de $25\,\%$. Quel est son nouveau prix ?
2) Le prix d'un abonnement internet passe de $20\text{ €}$ à $23\text{ €}$. Quel est le pourcentage d'augmentation ?
Corrigé :
1) Montant de la réduction : $80 \times 0{,}25 = 20\text{ €}$.
Nouveau prix : $80 - 20 =$ 60 €.
(Ou directement : $80 \times (1 - 0{,}25) = 80 \times 0{,}75 = 60\text{ €}$).
2) Montant de l'augmentation : $23 - 20 = 3\text{ €}$.
Pourcentage : $\dfrac{3}{20} = \dfrac{15}{100} =$ +15 %.
Exercice 5 : Vitesse moyenne et distance
Une automobiliste roule à une vitesse moyenne de $90\text{ km/h}$.
1) Quelle distance parcourt-elle en $2\text{ h } 30\text{ min}$ ?
2) Combien de temps met-elle pour parcourir $225\text{ km}$ ? Exprimer la réponse en heures et minutes.
Corrigé :
1) $2\text{ h } 30\text{ min} = 2{,}5\text{ h}$.
Distance : $d = v \times t = 90 \times 2{,}5 =$ 225 km.
2) Durée : $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{225}{90} = 2{,}5\text{ h}$.
Comme $0{,}5\text{ h} = 30\text{ min}$, la durée est de 2 h 30 min.
Exercice 6 : Conversion d'unités de vitesse (m/s et km/h)
1) Un sprinter court à $10\text{ m/s}$. Convertir cette vitesse en $\text{km/h}$.
2) Un guépard est flashé à $108\text{ km/h}$. Convertir cette vitesse en $\text{m/s}$.
Corrigé :
Règle : Pour passer de $\text{m/s}$ à $\text{km/h}$, on multiplie par $3{,}6$. Pour passer de $\text{km/h}$ à $\text{m/s}$, on divise par $3{,}6$.
1) $10\text{ m/s} = 10 \times 3{,}6 =$ 36 km/h.
2) $108\text{ km/h} = \dfrac{108}{3{,}6} =$ 30 m/s.
Exercice 7 : Débit et volume écoulé
Un robinet a un débit constant de $12\text{ L/min}$.
1) Combien de litres d'eau s'écoulent en $45\text{ minutes}$ ?
2) Combien de temps faut-il pour remplir une piscine gonflable de $3\;600\text{ L}$ ? Donner le résultat en heures.
Corrigé :
1) Volume écoulé : $V = D \times t = 12 \times 45 =$ 540 L.
2) Temps nécessaire : $t = \dfrac{V}{D} = \dfrac{3600}{12} = 300\text{ minutes}$.
Conversion en heures : $\dfrac{300}{60} =$ 5 heures.
Exercice 8 : Représentation graphique de la proportionnalité
1) Rappeler la propriété caractérisant le graphique d'une situation de proportionnalité.
2) La droite représentant le prix $P$ (en €) en fonction de la masse $m$ (en kg) de pommes passe par l'origine et par le point $A(4\,;\,10)$. Quel est le prix d'un kilogramme de pommes ? Quel est le prix de $7\text{ kg}$ ?
Corrigé :
1) Propriété : Dans un repère, une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.
2) Le point $A(4\,;\,10)$ signifie que $4\text{ kg}$ coûtent $10\text{ €}$.
• Prix au kilo : $k = \dfrac{10}{4} =$ 2,50 € / kg.
• Prix pour $7\text{ kg}$ : $7 \times 2{,}50 =$ 17,50 €.