Exercices corrigés : Calculs avec des fractions
Exercice 1 : Simplification de fractions
Simplifier au maximum les fractions suivantes :
$$A = \dfrac{24}{36} \qquad B = \dfrac{45}{75} \qquad C = \dfrac{56}{42}$$
Corrigé :
• $A = \dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} =$ $$\dfrac{2}{3}$$
• $B = \dfrac{45 \div 15}{75 \div 15} =$ $$\dfrac{3}{5}$$
• $C = \dfrac{56 \div 14}{42 \div 14} =$ $$\dfrac{4}{3}$$
Exercice 2 : Comparaison de fractions
Comparer les fractions suivantes en les mettant au même dénominateur :
1) $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{7}{8}$
2) $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{11}{16}$
Corrigé :
1) Dénominateur commun $24$ :
$\dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{24}$ et $\dfrac{7}{8} = \dfrac{21}{24}$.
Comme $20 < 21$, on a : $$\dfrac{5}{6} < \dfrac{7}{8}$$
2) Dénominateur commun $16$ :
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{16}$.
Comme $12 > 11$, on a : $$\dfrac{3}{4} > \dfrac{11}{16}$$
Exercice 3 : Additions et soustractions simples
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :
$$A = \dfrac{3}{7} + \dfrac{5}{7} \qquad B = \dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{8} \qquad C = 2 + \dfrac{3}{5}$$
Corrigé :
• $A = \dfrac{3 + 5}{7} =$ $$\dfrac{8}{7}$$
• $B = \dfrac{14}{8} - \dfrac{3}{8} =$ $$\dfrac{11}{8}$$
• $C = \dfrac{10}{5} + \dfrac{3}{5} =$ $$\dfrac{13}{5}$$
Exercice 4 : Additions avec dénominateurs différents
Calculer et simplifier :
$$A = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{6} \qquad B = \dfrac{3}{7} - \dfrac{5}{8} \qquad C = -\dfrac{7}{15} + \dfrac{1}{4}$$
Corrigé :
• $A = \dfrac{12}{30} + \dfrac{5}{30} =$ $$\dfrac{17}{30}$$
• $B = \dfrac{24}{56} - \dfrac{35}{56} =$ $$-\dfrac{11}{56}$$
• $C = \dfrac{-28}{60} + \dfrac{15}{60} =$ $$-\dfrac{13}{60}$$
Exercice 5 : Multiplications de fractions
Calculer en simplifiant avant d'effectuer les produits :
$$A = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{9} \qquad B = -\dfrac{3}{10} \times \dfrac{40}{5} \qquad C = \dfrac{-14}{15} \times \dfrac{-25}{21}$$
Corrigé :
• $A = \dfrac{3 \times (2 \times 5)}{5 \times (3 \times 3)} =$ $$\dfrac{2}{3}$$
• $B = -\dfrac{3 \times (4 \times 10)}{10 \times 5} =$ $$-\dfrac{12}{5}$$
• $C = +\dfrac{(2 \times 7) \times (5 \times 5)}{(3 \times 5) \times (3 \times 7)} =$ $$\dfrac{10}{9}$$
Exercice 6 : Inverse d'un nombre et d'une fraction
Donner l'inverse de chacun des nombres suivants :
1) $\dfrac{4}{7}$
2) $-\dfrac{3}{5}$
3) $8$
4) $-0{,}25$
Corrigé :
1) L'inverse de $\dfrac{4}{7}$ est $$\dfrac{7}{4}$$
2) L'inverse de $-\dfrac{3}{5}$ est $$-\dfrac{5}{3}$$
3) $8 = \dfrac{8}{1}$, donc son inverse est $$\dfrac{1}{8}$$ (ou $0{,}125$)
4) $-0{,}25 = -\dfrac{1}{4}$, donc son inverse est -4
Exercice 7 : Divisions de fractions
Calculer et simplifier :
$$A = \dfrac{5}{3} \div \dfrac{7}{2} \qquad B = -\dfrac{2}{7} \div \left(-\dfrac{4}{3}\right) \qquad C = \dfrac{\frac{3}{4}}{9}$$
Corrigé :
• $A = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{2}{7} =$ $$\dfrac{10}{21}$$
• $B = -\dfrac{2}{7} \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) = +\dfrac{2 \times 3}{7 \times 4} =$ $$\dfrac{3}{14}$$
• $C = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{36} =$ $$\dfrac{1}{12}$$
Exercice 8 : Problème : Partage d'un héritage
Trois personnes se partagent une somme d'argent.
La première reçoit $\dfrac{2}{5}$ de la somme totale.
La deuxième reçoit $\dfrac{1}{3}$ de la somme totale.
1) Quelle fraction de la somme totale reçoit la troisième personne ?
2) Sachant que la somme totale est de $45\,000\text{ €}$, calculer la part de chacun en euros.
Corrigé :
1) Part des deux premières : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$.
Part de la 3e : $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{15 - 11}{15} =$ $$\dfrac{4}{15}$$
2) Montants en euros :
• 1re personne : $45\,000 \times \dfrac{2}{5} =$ 18 000 €
• 2e personne : $45\,000 \times \dfrac{1}{3} =$ 15 000 €
• 3e personne : $45\,000 \times \dfrac{4}{15} =$ 12 000 €
(Vérification : $18\,000 + 15\,000 + 12\,000 = 45\,000\text{ €}$).