Statistiques
1 - Vocabulaire associé à une série statistique
Vocabulaire statistique :
- Population : l'ensemble des éléments étudiés (ex : tous les élèves d'une classe).
- Individu : chaque élément de cette population (ex : un élève).
- Caractère : la propriété ou mesure observée, qui prend différentes valeurs (ex : la note obtenue).
- Effectif d'une valeur : le nombre d'individus présentant cette valeur.
- Effectif total $N$ : la somme de tous les effectifs.
Exemple : Notes obtenues par les élèves d'une classe
| Note obtenue (valeur) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Nombre d'élèves (effectif $n$) | 2 | 0 | 1 | 3 | 8 | 5 | 2 | 0 | 3 | 1 |
Effectif total : $N = 2 + 0 + 1 + 3 + 8 + 5 + 2 + 0 + 3 + 1 = 25$ élèves.
Définition 1 : La fréquence
On appelle fréquence d'une valeur le quotient de son effectif $n$ par l'effectif total $N$ :
Exemple : Pour la note $4$ (effectif $3$) : $f_4 = \dfrac{3}{25} = 0{,}12 = 12\,\%$. Pour la note $6$ : $f_6 = \dfrac{5}{25} = 0{,}20 = 20\,\%$.
2 - Représentation graphique et indicateurs statistiques
Diagramme en bâtons des notes de la classe
Indicateur 1 : La moyenne pondérée $\overline{x}$
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l'effectif total $N$.
Indicateur 2 : Le mode
C'est la valeur ayant le plus grand effectif.
Le mode est 5 (effectif maximal de 8 élèves).
Indicateur 3 : L'étendue
C'est la différence entre les deux valeurs extrêmes de la série (valeur max - valeur min).
Étendue = $10 - 1 = \mathbf{9}$.
Indicateur 4 : La médiane $M_e$
La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif (au moins $50\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales) :
- Si $N$ est impair, la médiane est la valeur classée au rang $\dfrac{N+1}{2}$.
- Si $N$ est pair, la médiane est la demi-somme des valeurs situées aux rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$.
Dans notre exemple, $N = 25$ (impair) $\implies \dfrac{25+1}{2} = 13^{\text{ème}}$ valeur.
1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 9, 9, 10
$$M_e = 5$$
Indicateur 5 : Les quartiles $Q_1$ et $Q_3$
- Le premier quartile $Q_1$ est la valeur classée au rang $\dfrac{N}{4}$ arrondi à l'entier supérieur (au moins $25\,\%$ des valeurs).
- Le troisième quartile $Q_3$ est la valeur classée au rang $\dfrac{3N}{4}$ arrondi à l'entier supérieur (au moins $75\,\%$ des valeurs).
$\dfrac{N}{4} = \dfrac{25}{4} = 6{,}25 \implies$ on retient la $7^{\text{ème}}$ valeur : $\mathbf{Q_1 = 5}$.
$\dfrac{3N}{4} = \dfrac{75}{4} = 18{,}75 \implies$ on retient la $19^{\text{ème}}$ valeur : $\mathbf{Q_3 = 6}$.
Récapitulatif visuel : Le diagramme à moustaches (boîte de Tukey)
La boîte contient les $50\,\%$ centraux de la population (entre $Q_1$ et $Q_3$).