La fonction affine
1 - Définition de la fonction affine
Définition 1 :
On appelle fonction affine $f$ une fonction qui à tout nombre $x$ associe le nombre $f(x)$ vérifiant $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres donnés.
Remarque importante :
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière pour laquelle $b = 0$ ($f(x) = ax$). Une fonction constante est une fonction affine pour laquelle $a = 0$ ($f(x) = b$).
Application 1 : Calculer une image et un antécédent
Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 3x - 4$ (ici $a = 3$ et $b = -4$).
Calcul d'images :
$f(0) = 3 \times 0 - 4 = -4$ $\implies$ l'image de $0$ est $-4$.
$f(2) = 3 \times 2 - 4 = 6 - 4 = 2$ $\implies$ l'image de $2$ est $2$.
Calcul d'un antécédent :
On cherche $x$ tel que $f(x) = -2$ soit $3x - 4 = -2$ :
$$\begin{aligned} 3x - 4 &= -2 \\ 3x &= 4 - 2 = 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$L'antécédent de $-2$ par $f$ est $\dfrac{2}{3}$.
2 - Représentation graphique d'une fonction affine
Propriété 1 :
La représentation graphique de la fonction affine $f : x \mapsto ax + b$ est la droite d'équation $y = ax + b$.
Vocabulaire indispensable :
- Le nombre $a$ est le coefficient directeur (pente). Il détermine l'inclinaison de la droite ($a > 0 \implies$ monte, $a < 0 \implies$ descend).
- Le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées : le point $(0\,;\,b)$.
Application 2 : Représenter graphiquement une fonction affine
Soit $f(x) = 3x - 4$. Sa droite $D_f$ a pour équation $y = 3x - 4$ :
- $f(0) = -4 \implies D_f$ passe par l'ordonnée à l'origine $(0\,;\,-4)$.
- $f(2) = 2 \implies D_f$ passe par le point $(2\,;\,2)$.
- Pente $a = 3$ : lorsqu'on avance de $1$ unité vers la droite, on monte de $3$ unités !
3 - Lecture graphique d'une fonction affine
Propriété 2 :
Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine.
Application 3 : Retrouver les coefficients a et b par lecture graphique
1. $D_1$ est une droite non verticale $\implies f(x) = ax + b$.
2. $D_1$ coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,2)$, donc :
$$b = 2$$
3. Elle passe par le point $(4\,;\,0) \in D_1$, donc $f(4) = 0$ :
$$\begin{aligned} a \times 4 + b &= 0 \quad (\text{avec } b = 2) \\ 4a + 2 &= 0 \implies 4a = -2 \implies a = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Conclusion : $\mathbf{f : x \mapsto -\dfrac{1}{2}x + 2}$.