Exercices corrigés : Exercices corrigés : Aires et volumes - 3ème
Exercice 1 : Exercice 1 : Volume d'un pavé droit
Un aquarium en forme de pavé droit mesure $80\text{ cm}$ de longueur, $40\text{ cm}$ de largeur et $50\text{ cm}$ de hauteur.
1) Calculer son volume en $\text{cm}^3$.
2) En déduire sa contenance en litres (rappel : $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$).
1) Calculer son volume en $\text{cm}^3$.
2) En déduire sa contenance en litres (rappel : $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$).
Corrigé détaillé :
1) Le volume d'un pavé droit est donné par $V = L \times l \times h$.
$$V = 80 \times 40 \times 50 = 160\,000\text{ cm}^3$$
2) Conversion en litres :
$1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3$, donc $160\,000\text{ cm}^3 = 160\text{ dm}^3 = 160\text{ L}$.
Le volume de l'aquarium est de $160\text{ litres}$.
$$V = 80 \times 40 \times 50 = 160\,000\text{ cm}^3$$
2) Conversion en litres :
$1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3$, donc $160\,000\text{ cm}^3 = 160\text{ dm}^3 = 160\text{ L}$.
Le volume de l'aquarium est de $160\text{ litres}$.
Exercice 2 : Exercice 2 : Volume d'un cylindre de révolution
Une boîte de conserve cylindrique a un rayon de base $r = 5\text{ cm}$ et une hauteur $h = 12\text{ cm}$.
1) Donner la valeur exacte de son volume en fonction de $\pi$.
2) Donner la valeur arrondie au $\text{cm}^3$ près.
1) Donner la valeur exacte de son volume en fonction de $\pi$.
2) Donner la valeur arrondie au $\text{cm}^3$ près.
Corrigé détaillé :
1) Le volume d'un cylindre est $V = \pi \times r^2 \times h$.
$$V = \pi \times 5^2 \times 12 = \pi \times 25 \times 12 = 300\pi\text{ cm}^3$$
2) Valeur approchée :
$300\pi \approx 300 \times 3{,}14159 \approx 942{,}48\text{ cm}^3$.
La valeur arrondie au $\text{cm}^3$ près est de $942\text{ cm}^3$ (ou valeur exacte $300\pi\text{ cm}^3$).
$$V = \pi \times 5^2 \times 12 = \pi \times 25 \times 12 = 300\pi\text{ cm}^3$$
2) Valeur approchée :
$300\pi \approx 300 \times 3{,}14159 \approx 942{,}48\text{ cm}^3$.
La valeur arrondie au $\text{cm}^3$ près est de $942\text{ cm}^3$ (ou valeur exacte $300\pi\text{ cm}^3$).
Exercice 3 : Exercice 3 : Volume d'un prisme droit
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$. La hauteur du prisme est de $15\text{ cm}$.
Calculer l'aire de la base puis le volume de ce prisme.
Calculer l'aire de la base puis le volume de ce prisme.
Corrigé détaillé :
1) Aire de la base triangulaire :
$$\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{6 \times 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24\text{ cm}^2$$
2) Volume du prisme :
$$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h = 24 \times 15 = 360\text{ cm}^3$$
Le volume du prisme est égal à $360\text{ cm}^3$.
$$\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{6 \times 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24\text{ cm}^2$$
2) Volume du prisme :
$$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h = 24 \times 15 = 360\text{ cm}^3$$
Le volume du prisme est égal à $360\text{ cm}^3$.
Exercice 4 : Exercice 4 : Volume d'une pyramide à base carrée
La pyramide du Louvre est une pyramide régulière à base carrée de côté $35\text{ m}$ et de hauteur environ $21{,}6\text{ m}$.
Calculer son volume au mètre cube près.
Calculer son volume au mètre cube près.
Corrigé détaillé :
La formule du volume d'une pyramide est :
$$V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$$
L'aire de la base carrée est :
$$\mathcal{A}_{\text{base}} = 35^2 = 1\,225\text{ m}^2$$
Le volume est donc :
$$V = \dfrac{1}{3} \times 1\,225 \times 21{,}6 = 1\,225 \times 7{,}2 = 8\,820\text{ m}^3$$
Le volume de la pyramide est de $8\,820\text{ m}^3$.
$$V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$$
L'aire de la base carrée est :
$$\mathcal{A}_{\text{base}} = 35^2 = 1\,225\text{ m}^2$$
Le volume est donc :
$$V = \dfrac{1}{3} \times 1\,225 \times 21{,}6 = 1\,225 \times 7{,}2 = 8\,820\text{ m}^3$$
Le volume de la pyramide est de $8\,820\text{ m}^3$.
Exercice 5 : Exercice 5 : Volume d'un cône de révolution
Un cône de révolution a pour rayon de base $r = 6\text{ cm}$ et pour hauteur $h = 10\text{ cm}$.
1) Calculer sa valeur exacte en fonction de $\pi$.
2) Donner la valeur arrondie au dixième de $\text{cm}^3$.
1) Calculer sa valeur exacte en fonction de $\pi$.
2) Donner la valeur arrondie au dixième de $\text{cm}^3$.
Corrigé détaillé :
1) Le volume d'un cône est $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$.
$$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 10 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 10 = 120\pi\text{ cm}^3$$
2) Valeur approchée :
$$120\pi \approx 120 \times 3{,}14159 \approx 376{,}99\text{ cm}^3$$
Arrondi au dixième, le volume est de $377{,}0\text{ cm}^3$ (valeur exacte $120\pi\text{ cm}^3$).
$$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 10 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 10 = 120\pi\text{ cm}^3$$
2) Valeur approchée :
$$120\pi \approx 120 \times 3{,}14159 \approx 376{,}99\text{ cm}^3$$
Arrondi au dixième, le volume est de $377{,}0\text{ cm}^3$ (valeur exacte $120\pi\text{ cm}^3$).
Exercice 6 : Exercice 6 : Aire et volume d'une boule
Une boule de pétanque a un rayon $R = 3{,}6\text{ cm}$.
1) Calculer l'aire de la sphère qui la délimite (arrondir au $\text{cm}^2$).
2) Calculer le volume de la boule (arrondir au $\text{cm}^3$).
1) Calculer l'aire de la sphère qui la délimite (arrondir au $\text{cm}^2$).
2) Calculer le volume de la boule (arrondir au $\text{cm}^3$).
Corrigé détaillé :
1) Aire de la sphère : $\mathcal{A} = 4\pi R^2$.
$$\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 3{,}6^2 = 4 \times \pi \times 12{,}96 = 51{,}84\pi \approx 162{,}86\text{ cm}^2$$
Arrondi au $\text{cm}^2$ : $163\text{ cm}^2$.
2) Volume de la boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
$$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3{,}6^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 46{,}656 = 62{,}208\pi \approx 195{,}43\text{ cm}^3$$
Arrondi au $\text{cm}^3$ : $195\text{ cm}^3$.
$$\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 3{,}6^2 = 4 \times \pi \times 12{,}96 = 51{,}84\pi \approx 162{,}86\text{ cm}^2$$
Arrondi au $\text{cm}^2$ : $163\text{ cm}^2$.
2) Volume de la boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
$$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3{,}6^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 46{,}656 = 62{,}208\pi \approx 195{,}43\text{ cm}^3$$
Arrondi au $\text{cm}^3$ : $195\text{ cm}^3$.
Exercice 7 : Exercice 7 : Solide composé (cylindre surmonté d'un cône)
Un silo à grains est composé d'une partie cylindrique de rayon $r = 2\text{ m}$ et de hauteur $h_1 = 5\text{ m}$, surmontée d'un cône de même rayon et de hauteur $h_2 = 1{,}5\text{ m}$.
Calculer le volume total du silo en valeur exacte puis arrondie au dixième de $\text{m}^3$.
Calculer le volume total du silo en valeur exacte puis arrondie au dixième de $\text{m}^3$.
Corrigé détaillé :
1) Volume du cylindre :
$$V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h_1 = \pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi\text{ m}^3$$
2) Volume du cône :
$$V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h_2 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4 \times 1{,}5 = 2\pi\text{ m}^3$$
3) Volume total :
$$V_{\text{total}} = 20\pi + 2\pi = 22\pi\text{ m}^3$$
Valeur approchée : $22\pi \approx 69{,}115\text{ m}^3$.
Le volume total est d'environ $69{,}1\text{ m}^3$ (exact : $22\pi\text{ m}^3$).
$$V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h_1 = \pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi\text{ m}^3$$
2) Volume du cône :
$$V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h_2 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4 \times 1{,}5 = 2\pi\text{ m}^3$$
3) Volume total :
$$V_{\text{total}} = 20\pi + 2\pi = 22\pi\text{ m}^3$$
Valeur approchée : $22\pi \approx 69{,}115\text{ m}^3$.
Le volume total est d'environ $69{,}1\text{ m}^3$ (exact : $22\pi\text{ m}^3$).
Exercice 8 : Exercice 8 : Problème de masse et masse volumique
Un lingot en argent pur a la forme d'un pavé droit de dimensions $10\text{ cm} \times 5\text{ cm} \times 2\text{ cm}$. La masse volumique de l'argent est $\rho = 10{,}5\text{ g/cm}^3$.
1) Calculer le volume du lingot.
2) Calculer la masse du lingot en grammes puis en kilogrammes.
1) Calculer le volume du lingot.
2) Calculer la masse du lingot en grammes puis en kilogrammes.
Corrigé détaillé :
1) Volume du lingot :
$$V = 10 \times 5 \times 2 = 100\text{ cm}^3$$
2) Calcul de la masse :
$$m = \rho \times V = 10{,}5\text{ g/cm}^3 \times 100\text{ cm}^3 = 1\,050\text{ g}$$
En kilogrammes : $1\,050\text{ g} = 1{,}05\text{ kg}$.
La masse du lingot est de $1{,}05\text{ kg}$ (soit $1\,050\text{ g}$).
$$V = 10 \times 5 \times 2 = 100\text{ cm}^3$$
2) Calcul de la masse :
$$m = \rho \times V = 10{,}5\text{ g/cm}^3 \times 100\text{ cm}^3 = 1\,050\text{ g}$$
En kilogrammes : $1\,050\text{ g} = 1{,}05\text{ kg}$.
La masse du lingot est de $1{,}05\text{ kg}$ (soit $1\,050\text{ g}$).