Section plane d'un solide

Définition 1 :

On dit que deux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun (ou sont confondus).
On dit qu'une droite et un plan sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun (ou si la droite est contenue dans le plan).

Propriété 1 :

La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou une arête est un rectangle.

Plan parallèle à une face : rectangle identique

Plan parallèle à une arête : rectangle incliné

Propriété 2 :

La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle.
La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle (de même rayon que la base).

Plan parallèle à l'axe : Rectangle

Plan perpendiculaire à l'axe : Cercle

Propriété 3 :

La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une réduction du polygone constituant la base de la pyramide.

Pyramide coupée parallèlement à la base

Le coefficient de réduction est $k = \dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{SO'}{SO} < 1$.

Propriété 4 :

La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un cercle (réduction du cercle de base).

Cône coupé parallèlement à la base

Le petit cône est une réduction du grand cône de rapport $k = \dfrac{SO'}{SO} = \dfrac{r'}{R}$.

Propriété 5 :

La section d'une sphère par un plan est un cercle.

Section d'une sphère de centre $O$ et rayon $R$

Calcul du rayon $r$ du cercle de section :

Dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$ :

$$OM^2 = OH^2 + HM^2 \implies R^2 = d^2 + r^2$$ $$r^2 = R^2 - d^2 \implies r = \sqrt{R^2 - d^2}$$

Si $d = 0$ (le plan passe par le centre $O$), la section est un grand cercle de rayon $R$.
Si $d = R$, le plan est tangent à la sphère en un seul point.
Si $d > R$, le plan et la sphère n'ont aucun point commun.