Réciproque de Thalès

Propriété : Soit $A$, $B$, $C$, $M$ et $N$ des points distincts du plan.

$$\text{Si } \begin{cases} A, B, M \text{ et } A, C, N \text{ sont alignés dans le même ordre} \\ \text{et } \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \end{cases} \quad \text{alors} \quad (MN) \mathbin{/\mkern-2mu/} (BC)$$

Configuration 1

A M N B C

Configuration 2 (croisée)

A N M B C

Configuration 3

A B C M N

Application : Démontrer que deux droites sont parallèles

Exemple 1 : Configuration emboîtée

$MA = 4\text{ cm}$, $MB = 5\text{ cm}$, $MN = 12\text{ cm}$ et $ML = 15\text{ cm}$. Démontrer que $(AB) \mathbin{/\mkern-2mu/} (NL)$.

M A N B L

Hypothèse : $M, A, N$ et $M, B, L$ sont alignés dans le même ordre.

On calcule séparément les deux rapports :

$$\dfrac{MA}{MN} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{MB}{ML} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$$

On constate que : $\dfrac{MA}{MN} = \dfrac{MB}{ML}$.

Conclusion : D'après la réciproque de Thalès, $(AB) \mathbin{/\mkern-2mu/} (NL)$.

Exemple 2 : Configuration papillon

$(AR)$ et $(BP)$ sécantes en $C$. $AC = 3{,}3$, $CR = 1{,}1$, $BC = 4{,}5$, $CP = 1{,}5$. Démontrer que $(AB) \mathbin{/\mkern-2mu/} (PR)$.

A B C P R

Hypothèse : $A, C, R$ et $B, C, P$ sont alignés dans le même ordre.

$$\dfrac{CA}{CR} = \dfrac{3{,}3}{1{,}1} = 3 \qquad \text{et} \qquad \dfrac{CB}{CP} = \dfrac{4{,}5}{1{,}5} = 3$$

On constate que : $\dfrac{CA}{CR} = \dfrac{CB}{CP}$.

Conclusion : D'après la réciproque de Thalès, $(AB) \mathbin{/\mkern-2mu/} (PR)$.