Propriété de Pythagore et Réciproque
1 - Propriété de Pythagore
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés du triangle.
Si $ABC$ est rectangle en $B$,
$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$
Démonstration : Justification géométrique de la propriété de Pythagore
On considère un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $b$ et $c$, et l'hypoténuse mesure $a$.
Figure 1 : Carré $(b+c)$ avec carrés $b^2$ et $c^2$
$\text{Aire} = 4t + c^2 + b^2$
Figure 2 : Même carré avec carré central $a^2$
$\text{Aire} = 4t + a^2$
En égalant les deux aires : $4t + c^2 + b^2 = 4t + a^2 \iff c^2 + b^2 = a^2$
Application : Calcul d'une longueur
Exemple 1 : Calcul de l'hypoténuse
Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$ avec $EF = 3\text{ cm}$ et $FG = 4\text{ cm}$. Calculer $EG$.
Hypothèse : $EFG$ rectangle en $F$, hypoténuse $[EG]$.
D'après Pythagore :
Conclusion : La longueur $EG$ est de 5 cm.
Exemple 2 : Calcul d'un côté de l'angle droit
Le triangle $MNP$ est rectangle en $M$ avec $MN = 2\text{ cm}$ et $NP = 6\text{ cm}$. Calculer $MP$.
Hypothèse : $MNP$ rectangle en $M$, hypoténuse $[NP]$.
D'après Pythagore :
Conclusion : La longueur $MP$ est d'environ 5,7 cm.
2 - Réciproque de la propriété de Pythagore
Propriété 2 : Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Application : Démontrer qu'un triangle est rectangle
Exemple : On considère un triangle $IJK$ tel que $IJ = 6\text{ cm}$, $JK = 8\text{ cm}$ et $IK = 10\text{ cm}$. Démontrer que ce triangle est rectangle.
- Le plus grand côté est $[IK]$ :
$$IK^2 = 10^2 = 100$$
- Somme des carrés des deux autres côtés :
$$IJ^2 + JK^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$
On constate que : $IK^2 = IJ^2 + JK^2$.
D'après la réciproque de la propriété de Pythagore :
Conclusion : Le triangle $IJK$ est rectangle en $J$.