Calcul de probabilités
I - Probabilité d'un évènement
1 - Notion de probabilité
La probabilité d'un évènement est la fréquence de réalisation de cet évènement lors d'un grand nombre de répétitions d'une même expérience aléatoire.
Dans l'exemple :
Si on lance un dé à 6 faces un très grand nombre de fois, on va observer que la fréquence d'apparition de chaque face est égale à 1 sur 6.
Définition 1 :
Lors d'une expérience aléatoire, on dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser.
Propriété 1 :
En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A est $\color{red}{p(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de A}}{\text{nombre d'issues de } \Omega}}$.
Dans l'exemple :
L'univers est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ et contient 6 issues.
Soit l'évènement A "Faire un nombre pair" ; $A = \{2, 4, 6\}$ contient 3 issues.
$$ p(A) = \frac{3}{6} = 0,5 $$
Soit l'évènement B "Faire un nombre supérieur ou égal à 2" ; $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ contient 5 issues.
$$ p(B) = \frac{5}{6} \approx 0,83 $$
Conséquence :
- La probabilité d'un évènement est comprise entre 0 et 1.
- La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
2 - Loi de probabilité
Définition 2 :
Soit $\Omega$ l'univers fini associé à une expérience aléatoire. Définir une loi de probabilité sur $\Omega$, c'est donner les probabilités $\color{red}{p_i}$ de chaque issue $\color{red}{x_i}$ de $\Omega$.
On regroupe ces résultats dans un tableau :
| issue $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
| probabilité $p_i$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
Dans l'exemple :
La probabilité de chaque issue est égale à $\dfrac{1}{6}$.
| issue | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| probabilité | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ |
On vérifie bien que :
- chaque probabilité a une valeur comprise entre 0 et 1.
- la somme des probabilités de chaque issue est égale à 1 $\left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\right)$.
3 - Propriétés
Propriété 2 :
- Pour tous évènements A et B, $\color{red}{p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)}$.
- Pour tout évènement A, $\color{red}{p(A) + p(\overline{A}) = 1}$.
Remarque : Si les évènements A et B sont incompatibles alors $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
Dans l'exemple :
Soit A l'évènement "Faire un nombre pair" : $A = \{2, 4, 6\}$ donc $p(A) = \dfrac{3}{6}$
et D l'évènement "Faire un nombre inférieur strictement à 3" : $D = \{1, 2\}$ donc $p(D) = \dfrac{2}{6}$
$A \cup D = \{1, 2, 4, 6\}$ donc $p(A \cup D) = \dfrac{4}{6}$
$A \cap D = \{2\}$ donc $p(A \cap D) = \dfrac{1}{6}$
donc $p(A) + p(D) - p(A \cap D) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = p(A \cup D)$
II - Modéliser avec un tableau ou un arbre
1 - Avec un tableau
Tableau à double entrée :
On lance 2 dés identiques et on note la somme obtenue. Décrire l'univers de cette expérience aléatoire.
On note tous les tirages possibles lors du jet des 2 dés dans le tableau ci-dessous.
| dé 1 \ dé 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Il y a 36 tirages possibles. $\Omega = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$
Probabilité de chaque issue :
$p(2) = \dfrac{1}{36} = p(12); \quad p(3) = \dfrac{2}{36} = p(11); \quad p(4) = \dfrac{3}{36} = p(10); \dots$
On constate que ce n'est pas une situation d'équiprobabilité.
Tableau (additif) à double entrée :
Dans une classe de 35 élèves, sachant que 16 font du ski, 11 font du surf et 4 pratiquent les 2 sports, combien d'élèves ne pratiquent aucun sport ?
On considère les évènements $A$ : "Faire du ski" et $B$ : "Faire du surf".
On remplit le tableau et on trouve $p(\overline{A} \cap \overline{B}) = \dfrac{12}{35}$ donc il y a 12 élèves qui ne pratiquent aucun sport.
2 - Avec un arbre simple
Arbre simple (des choix) :
Une urne contient 5 boules identiques numérotées 1 ou 2. On tire successivement deux boules de l'urne sans remise.
- 1) Quelle est la probabilité $p_1$ de tirer 2 boules ayant le numéro 1 ?
- 2) Quelle est la probabilité $p_2$ de tirer exactement une boule ayant le numéro 2 ?
- 3) Quelle est la probabilité $p_3$ de tirer au moins une boule ayant le numéro 2 ?
On peut représenter la situation par un arbre (de choix) simple :
Dans cet arbre, un chemin est composé de 2 branches et représente une issue. Il y a au total 20 issues équiprobables.
1) Il y a 2 chemins pour lesquels les 2 boules ont le numéro 1 : $p_1 = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$
2) Il y a 12 chemins pour lesquels exactement une boule a le numéro 2 : $p_2 = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$
3) Il y a 18 chemins pour lesquels au moins une boule a le numéro 2 : $p_3 = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$
3 - Avec un arbre pondéré
Dans l'exemple précédent :
Propriété 3 :
- Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un évènement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui composent ce chemin.
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Dans l'exemple précédent :
$$$p_1 = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$$$
$$$p_2 = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$$$
$$$p_3 = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$$$
III - Probabilité conditionnelle
Définition 3 : Soit A et B deux évènements avec $p(A) \neq 0$. On appelle probabilité de B sachant que A est réalisé le nombre :
$$ \color{red}{p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}} $$
Remarques :
- La formule précédente s'écrit aussi $p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A)$.
- L'évènement $A \cap B$ est réalisé lorsque l'évènement A est réalisé et l'évènement B est réalisé.
Propriété 4 : Si $p(A) \neq 0$ et $p(B) \neq 0$ alors $\color{red}{p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A) = p_B(A) \times p(B)}$.
Application à l'exemple précédent :
On note les évènements : A : "La première boule tirée a le numéro 1." et B : "La deuxième boule tirée a le numéro 1."
On peut refaire l'arbre pondéré avec les notations $A, \overline{A}, B, \overline{B}$ et retrouver les formules littérales de $p_1, p_2, p_3$.
Probability calculation
I - Probability of an event
1 - Concept of probability
The probability of an event is the relative frequency of occurrence of this event over a large number of repetitions of the same random experiment.
In the example:
If we roll a 6-sided die a very large number of times, we will observe that the frequency of each face appearing is equal to 1 out of 6.
Definition 1:
In a random experiment, we say there is equiprobability (equally likely outcomes) when all outcomes have the same probability of occurring.
Property 1:
In a situation of equiprobability, the probability of an event A is $\color{red}{p(A) = \dfrac{\text{number of outcomes in A}}{\text{number of outcomes in } \Omega}}$.
In the example:
The sample space is $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ and contains 6 outcomes.
Let event A be "Roll an even number"; $A = \{2, 4, 6\}$ contains 3 outcomes.
$$ p(A) = \frac{3}{6} = 0.5 $$
Let event B be "Roll a number greater than or equal to 2"; $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ contains 5 outcomes.
$$ p(B) = \frac{5}{6} \approx 0.83 $$
Consequence:
- The probability of an event is between 0 and 1.
- The sum of the probabilities of all outcomes is equal to 1.
2 - Probability distribution
Definition 2:
Let $\Omega$ be the finite sample space associated with a random experiment. Defining a probability distribution on $\Omega$ means giving the probabilities $\color{red}{p_i}$ of each outcome $\color{red}{x_i}$ of $\Omega$.
We group these results in a table:
| outcome $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
| probability $p_i$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
In the example:
The probability of each outcome is equal to $\dfrac{1}{6}$.
| outcome | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| probability | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ |
We can verify that:
- each probability has a value between 0 and 1.
- the sum of the probabilities of each outcome is equal to 1 $\left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\right)$.
3 - Properties
Property 2:
- For any events A and B, $\color{red}{p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)}$.
- For any event A, $\color{red}{p(A) + p(\overline{A}) = 1}$.
Note: If events A and B are mutually exclusive then $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
In the example:
Let A be the event "Roll an even number": $A = \{2, 4, 6\}$ so $p(A) = \dfrac{3}{6}$
and D the event "Roll a number strictly less than 3": $D = \{1, 2\}$ so $p(D) = \dfrac{2}{6}$
$A \cup D = \{1, 2, 4, 6\}$ so $p(A \cup D) = \dfrac{4}{6}$
$A \cap D = \{2\}$ so $p(A \cap D) = \dfrac{1}{6}$
so $p(A) + p(D) - p(A \cap D) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = p(A \cup D)$
II - Modeling with a table or a tree
1 - With a table
Two-way table:
We roll 2 identical dice and note the sum obtained. Describe the sample space of this random experiment.
We note all possible draws when throwing the 2 dice in the table below.
| die 1 \ die 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
There are 36 possible outcomes. $\Omega = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$
Probability of each outcome:
$p(2) = \dfrac{1}{36} = p(12); \quad p(3) = \dfrac{2}{36} = p(11); \quad p(4) = \dfrac{3}{36} = p(10); \dots$
We note that this is not a situation of equiprobability.
Two-way table (additive):
In a class of 35 students, knowing that 16 ski, 11 surf and 4 practice both sports, how many students practice no sport?
We consider the events $A$: "Ski" and $B$: "Surf".
We fill the table and find $p(\overline{A} \cap \overline{B}) = \dfrac{12}{35}$ so there are 12 students who practice no sport.
2 - With a simple tree
Simple tree (of choices):
An urn contains 5 identical balls numbered 1 or 2. We successively draw two balls from the urn without replacement.
- 1) What is the probability $p_1$ of drawing 2 balls with the number 1?
- 2) What is the probability $p_2$ of drawing exactly one ball with the number 2?
- 3) What is the probability $p_3$ of drawing at least one ball with the number 2?
We can represent the situation by a simple tree (of choices):
In this tree, a path is composed of 2 branches and represents an outcome. There are in total 20 equally likely outcomes.
1) There are 2 paths for which the 2 balls have the number 1: $p_1 = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$
2) There are 12 paths for which exactly one ball has the number 2: $p_2 = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$
3) There are 18 paths for which at least one ball has the number 2: $p_3 = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$
3 - With a weighted tree (probability tree)
In the previous example:
Property 3:
- In a weighted tree, the probability of an event corresponding to a path is equal to the product of the probabilities of the branches that make up this path.
- The sum of the probabilities of the branches issuing from the same node is equal to 1.
In the previous example:
$$$p_1 = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$$$
$$$p_2 = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$$$
$$$p_3 = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$$$
III - Conditional probability
Definition 3: Let A and B be two events with $p(A) \neq 0$. The probability of B given A is the number:
$$ \color{red}{p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}} $$
Notes:
- The previous formula is also written $p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A)$.
- The event $A \cap B$ is realized when event A is realized and event B is realized.
Property 4: If $p(A) \neq 0$ and $p(B) \neq 0$ then $\color{red}{p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A) = p_B(A) \times p(B)}$.
Application to the previous example:
We denote the events: A: "The first ball drawn has the number 1." and B: "The second ball drawn has the number 1."
We can redo the weighted tree with the notations $A, \overline{A}, B, \overline{B}$ and find the literal formulas for $p_1, p_2, p_3$.
Cálculo de probabilidades
I - Probabilidad de un suceso
1 - Noción de probabilidad
La probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de realización de este suceso durante un gran número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio.
En el ejemplo:
Si lanzamos un dado de 6 caras un número muy grande de veces, observaremos que la frecuencia de aparición de cada cara es igual a 1 de 6.
Definición 1:
En un experimento aleatorio, decimos que hay equiprobabilidad cuando todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad de realizarse.
Propiedad 1:
En situación de equiprobabilidad, la probabilidad de un suceso A es $\color{red}{p(A) = \dfrac{\text{número de casos favorables a A}}{\text{número de casos posibles de } \Omega}}$ (Regla de Laplace).
En el ejemplo:
El espacio muestral es $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ y contiene 6 casos posibles.
Sea el suceso A "Sacar un número par"; $A = \{2, 4, 6\}$ contiene 3 casos favorables.
$$ p(A) = \frac{3}{6} = 0,5 $$
Sea el suceso B "Sacar un número mayor o igual a 2"; $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ contiene 5 casos favorables.
$$ p(B) = \frac{5}{6} \approx 0,83 $$
Consecuencia:
- La probabilidad de un suceso está comprendida entre 0 y 1.
- La suma de las probabilidades de todos los resultados posibles es igual a 1.
2 - Ley de probabilidad (Distribución de probabilidad)
Definición 2:
Sea $\Omega$ el espacio muestral finito asociado a un experimento aleatorio. Definir una ley de probabilidad sobre $\Omega$, es dar las probabilidades $\color{red}{p_i}$ de cada resultado posible $\color{red}{x_i}$ de $\Omega$.
Agrupamos estos resultados en una tabla:
| resultado $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
| probabilidad $p_i$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
En el ejemplo:
La probabilidad de cada resultado es igual a $\dfrac{1}{6}$.
| resultado | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| probabilidad | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ |
Comprobamos que:
- cada probabilidad tiene un valor comprendido entre 0 y 1.
- la suma de las probabilidades de cada resultado es igual a 1 $\left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\right)$.
3 - Propiedades
Propiedad 2:
- Para todos los sucesos A y B, $\color{red}{p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)}$.
- Para todo suceso A, $\color{red}{p(A) + p(\overline{A}) = 1}$.
Nota: Si los sucesos A y B son incompatibles entonces $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
En el ejemplo:
Sea A el suceso "Sacar un número par": $A = \{2, 4, 6\}$ por lo tanto $p(A) = \dfrac{3}{6}$
y D el suceso "Sacar un número estrictamente menor que 3": $D = \{1, 2\}$ por lo tanto $p(D) = \dfrac{2}{6}$
$A \cup D = \{1, 2, 4, 6\}$ por lo tanto $p(A \cup D) = \dfrac{4}{6}$
$A \cap D = \{2\}$ por lo tanto $p(A \cap D) = \dfrac{1}{6}$
por lo tanto $p(A) + p(D) - p(A \cap D) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = p(A \cup D)$
II - Modelizar con una tabla o un diagrama de árbol
1 - Con una tabla
Tabla de doble entrada:
Lanzamos 2 dados idénticos y anotamos la suma obtenida. Describir el espacio muestral de este experimento aleatorio.
Anotamos todos los resultados posibles al lanzar los 2 dados en la tabla siguiente.
| dado 1 \ dado 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Hay 36 resultados posibles. $\Omega = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$
Probabilidad de cada resultado:
$p(2) = \dfrac{1}{36} = p(12); \quad p(3) = \dfrac{2}{36} = p(11); \quad p(4) = \dfrac{3}{36} = p(10); \dots$
Observamos que no es una situación de equiprobabilidad.
Tabla (aditiva) de doble entrada:
En una clase de 35 alumnos, sabiendo que 16 esquían, 11 hacen surf y 4 practican los 2 deportes, ¿cuántos alumnos no practican ningún deporte?
Consideramos los sucesos $A$: "Esquiar" y $B$: "Hacer surf".
Rellenamos la tabla y encontramos $p(\overline{A} \cap \overline{B}) = \dfrac{12}{35}$ por lo que hay 12 alumnos que no practican ningún deporte.
2 - Con un diagrama de árbol simple
Árbol simple (de opciones):
Una urna contiene 5 bolas idénticas numeradas 1 o 2. Extraemos sucesivamente dos bolas de la urna sin reemplazamiento.
- 1) ¿Cuál es la probabilidad $p_1$ de extraer 2 bolas con el número 1?
- 2) ¿Cuál es la probabilidad $p_2$ de extraer exactamente una bola con el número 2?
- 3) ¿Cuál es la probabilidad $p_3$ de extraer al menos una bola con el número 2?
Podemos representar la situación mediante un árbol (de opciones) simple:
En este árbol, un camino está compuesto por 2 ramas y representa un resultado posible. Hay en total 20 resultados equiprobables.
1) Hay 2 caminos para los cuales las 2 bolas tienen el número 1: $p_1 = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$
2) Hay 12 caminos para los cuales exactamente una bola tiene el número 2: $p_2 = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$
3) Hay 18 caminos para los cuales al menos una bola tiene el número 2: $p_3 = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$
3 - Con un diagrama de árbol ponderado
En el ejemplo anterior:
Propiedad 3:
- En un árbol ponderado, la probabilidad de un suceso correspondiente a un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas que componen este camino.
- La suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nudo es igual a 1.
En el ejemplo anterior:
$$$p_1 = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$$$
$$$p_2 = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$$$
$$$p_3 = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$$$
III - Probabilidad condicionada
Definición 3: Sean A y B dos sucesos con $p(A) \neq 0$. Llamamos probabilidad de B condicionada a A (o sabiendo que A ha ocurrido) al número:
$$ \color{red}{p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}} $$
Notas:
- La fórmula anterior se escribe también $p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A)$.
- El suceso $A \cap B$ ocurre cuando el suceso A ocurre y el suceso B ocurre.
Propiedad 4: Si $p(A) \neq 0$ y $p(B) \neq 0$ entonces $\color{red}{p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A) = p_B(A) \times p(B)}$.
Aplicación al ejemplo anterior:
Denotamos los sucesos: A: "La primera bola extraída tiene el número 1." y B: "La segunda bola extraída tiene el número 1."
Podemos rehacer el árbol ponderado con las notaciones $A, \overline{A}, B, \overline{B}$ y encontrar las fórmulas literales de $p_1, p_2, p_3$.