Évènement et langage ensembliste
I - Vocabulaire
Définition 1 : On appelle expérience aléatoire une expérience qui vérifie les 2 conditions suivantes :
- 1 - Tous les résultats possibles sont connus
- 2 - On ne sait pas à l'avance quel résultat va se produire.
Étude d'un cas particulier :
On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. On note le nombre obtenu sur la face supérieure.
- Tous les résultats possibles sont connus : il s'agit de 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- On ne peut pas savoir à l'avance quel résultat on va obtenir.
C'est donc une expérience aléatoire.
Définition 2 : On appelle issue un résultat possible d'une expérience aléatoire.
Dans l'exemple :
Il y a 6 issues : il s'agit de 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Définition 3 : On appelle univers, noté $\color{red}{\Omega}$, l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire.
Dans l'exemple :
$$L'univers est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.$$
Définition 4 : On appelle évènement un ensemble d'issues.
Dans l'exemple :
- Soit A l'évènement "Obtenir un nombre pair" ; il est composé des issues 2, 4 et 6.
$$ A = \{2, 4, 6\} $$ - Soit B l'évènement "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 2" ; il est composé des issues 2, 3, 4, 5, 6.
$$ B = \{2, 3, 4, 5, 6\} $$
II - Utilisation du langage ensembliste
Notation :
- Une issue $e$, aussi appelée évènement élémentaire, est un élément de $\Omega$. On note $e \in \Omega$.
- Un évènement A est un sous-ensemble de l'univers $\Omega$. On dit que A est inclus dans $\Omega$ et on note $A \subset \Omega$.
Définition 5 : On appelle évènements incompatibles des évènements qui ne peuvent pas se produire simultanément.
Dans l'exemple :
Soit C l'évènement "Faire 6" ; $C = \{6\}$.
Soit D l'évènement "Faire un nombre inférieur strictement à 3" ; $D = \{1, 2\}$.
Les évènements C et D n'ont aucune issue commune ; ils sont donc incompatibles.
Notation :
- Lorsque 2 ensembles n'ont aucun élément en commun, on dit que leur intersection est un ensemble vide.
L'ensemble vide se note $\emptyset$. Le symbole de l'intersection est $\cap$. - Si 2 évènements C et D sont incompatibles, on note donc $C \cap D = \emptyset$.
Vocabulaire :
- Toutes les issues appartiennent à l'univers $\Omega$ donc on appelle $\Omega$ l'évènement certain.
- L'ensemble vide $\emptyset$ ne contient aucune issue donc on appelle $\emptyset$ l'évènement impossible.
Définition 6 : On appelle évènement contraire d'un évènement A, l'évènement noté $\color{red}{\overline{A}}$ composé de toutes les issues n'appartenant pas à A.
Dans l'exemple :
- Soit A l'évènement "Faire un nombre pair" : $A = \{2, 4, 6\}$
d'où $\overline{A}$ est l'évènement "Ne pas faire un nombre pair" donc $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$. - Soit B l'évènement "Faire un nombre supérieur ou égal à 2" : $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$
d'où $\overline{B}$ est l'évènement "Faire un" donc $\overline{B} = \{1\}$.
Propriété 1 : Pour tous évènements A, B :
L'évènement A ou l'évènement B est l'évènement $\mathbf{A \cup B}$.
L'évènement A et l'évènement B est l'évènement $\mathbf{A \cap B}$.
$$$$ \color{red}{A \cap \overline{A} = \emptyset \quad \text{et} \quad A \cup \overline{A} = \Omega.} $$$$
Dans l'exemple :
Soit A l'évènement "Faire un nombre pair" ; $A = \{2, 4, 6\}$
et D l'évènement "Faire un nombre inférieur strictement à 3" ; $D = \{1, 2\}$.
A ou D est constitué des issues contenues dans A et dans D ; $A \cup D = \{1, 2, 4, 6\}$.
A et D est constitué des issues communes à A et D ; $A \cap D = \{2\}$.
Events and set theory language
I - Vocabulary
Definition 1: A random experiment is an experiment that satisfies the following 2 conditions:
- 1 - All possible outcomes are known
- 2 - We do not know in advance which outcome will occur.
Study of a specific case:
We roll a fair 6-sided die numbered from 1 to 6. We note the number obtained on the top face.
- All possible outcomes are known: they are 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- We cannot know in advance which outcome we will get.
It is therefore a random experiment.
Definition 2: An outcome is a possible result of a random experiment.
In the example:
There are 6 outcomes: they are 1, 2, 3, 4, 5 and 6.
Definition 3: The sample space, denoted $\color{red}{\Omega}$, is the set of all possible outcomes of a random experiment.
In the example:
$$The sample space is $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.$$
Definition 4: An event is a set of outcomes.
In the example:
- Let A be the event "Get an even number"; it consists of the outcomes 2, 4 and 6.
$$ A = \{2, 4, 6\} $$ - Let B be the event "Get a number greater than or equal to 2"; it consists of the outcomes 2, 3, 4, 5, 6.
$$ B = \{2, 3, 4, 5, 6\} $$
II - Using set theory language
Notation:
- An outcome $e$, also called an elementary event, is an element of $\Omega$. We write $e \in \Omega$.
- An event A is a subset of the sample space $\Omega$. We say that A is included in $\Omega$ and we write $A \subset \Omega$.
Definition 5: Mutually exclusive events (or disjoint events) are events that cannot occur simultaneously.
In the example:
Let C be the event "Roll a 6"; $C = \{6\}$.
Let D be the event "Roll a number strictly less than 3"; $D = \{1, 2\}$.
Events C and D have no common outcome; they are therefore mutually exclusive.
Notation:
- When 2 sets have no element in common, we say that their intersection is an empty set.
The empty set is denoted $\emptyset$. The symbol for intersection is $\cap$. - If 2 events C and D are mutually exclusive, we write $C \cap D = \emptyset$.
Vocabulary:
- All outcomes belong to the sample space $\Omega$ so we call $\Omega$ the certain event.
- The empty set $\emptyset$ contains no outcome so we call $\emptyset$ the impossible event.
Definition 6: The complementary event of an event A, denoted $\color{red}{\overline{A}}$, is the event composed of all outcomes not belonging to A.
In the example:
- Let A be the event "Roll an even number": $A = \{2, 4, 6\}$
hence $\overline{A}$ is the event "Do not roll an even number" so $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$. - Let B be the event "Roll a number greater than or equal to 2": $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$
hence $\overline{B}$ is the event "Roll a 1" so $\overline{B} = \{1\}$.
Property 1: For any events A, B:
The event A or event B is the event $\mathbf{A \cup B}$ (union).
The event A and event B is the event $\mathbf{A \cap B}$ (intersection).
$$$$ \color{red}{A \cap \overline{A} = \emptyset \quad \text{and} \quad A \cup \overline{A} = \Omega.} $$$$
In the example:
Let A be the event "Roll an even number"; $A = \{2, 4, 6\}$
and D be the event "Roll a number strictly less than 3"; $D = \{1, 2\}$.
A or D consists of the outcomes contained in A and in D; $A \cup D = \{1, 2, 4, 6\}$.
A and D consists of the common outcomes to A and D; $A \cap D = \{2\}$.
Sucesos y lenguaje de conjuntos
I - Vocabulario
Definición 1: Llamamos experimento aleatorio a un experimento que verifica las 2 condiciones siguientes:
- 1 - Todos los resultados posibles son conocidos
- 2 - No se sabe de antemano qué resultado se va a producir.
Estudio de un caso particular:
Lanzamos un dado equilibrado de 6 caras numeradas del 1 al 6. Anotamos el número obtenido en la cara superior.
- Todos los resultados posibles son conocidos: se trata de 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- No podemos saber de antemano qué resultado vamos a obtener.
Por tanto, es un experimento aleatorio.
Definición 2: Llamamos resultado (o caso posible) a un resultado posible de un experimento aleatorio.
En el ejemplo:
Hay 6 casos posibles: se trata de 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Definición 3: Llamamos espacio muestral, denotado $\color{red}{\Omega}$, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
En el ejemplo:
$$El espacio muestral es $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.$$
Definición 4: Llamamos suceso a un conjunto de resultados.
En el ejemplo:
- Sea A el suceso "Obtener un número par"; está compuesto por los resultados 2, 4 y 6.
$$ A = \{2, 4, 6\} $$ - Sea B el suceso "Obtener un número mayor o igual a 2"; está compuesto por los resultados 2, 3, 4, 5, 6.
$$ B = \{2, 3, 4, 5, 6\} $$
II - Uso del lenguaje de conjuntos
Notación:
- Un resultado $e$, también llamado suceso elemental, es un elemento de $\Omega$. Escribimos $e \in \Omega$.
- Un suceso A es un subconjunto del espacio muestral $\Omega$. Decimos que A está incluido en $\Omega$ y escribimos $A \subset \Omega$.
Definición 5: Llamamos sucesos incompatibles (o mutuamente excluyentes) a los sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente.
En el ejemplo:
Sea C el suceso "Sacar 6"; $C = \{6\}$.
Sea D el suceso "Sacar un número estrictamente menor que 3"; $D = \{1, 2\}$.
Los sucesos C y D no tienen ningún resultado en común; por lo tanto, son incompatibles.
Notación:
- Cuando 2 conjuntos no tienen ningún elemento en común, decimos que su intersección es un conjunto vacío.
El conjunto vacío se denota $\emptyset$. El símbolo de la intersección es $\cap$. - Si 2 sucesos C y D son incompatibles, denotamos entonces $C \cap D = \emptyset$.
Vocabulario:
- Todos los resultados pertenecen al espacio muestral $\Omega$ por lo que llamamos a $\Omega$ el suceso seguro.
- El conjunto vacío $\emptyset$ no contiene ningún resultado por lo que llamamos a $\emptyset$ el suceso imposible.
Definición 6: Llamamos suceso contrario de un suceso A, al suceso denotado $\color{red}{\overline{A}}$ compuesto por todos los resultados que no pertenecen a A.
En el ejemplo:
- Sea A el suceso "Sacar un número par": $A = \{2, 4, 6\}$
de donde $\overline{A}$ es el suceso "No sacar un número par" por lo tanto $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$. - Sea B el suceso "Sacar un número mayor o igual a 2": $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$
de donde $\overline{B}$ es el suceso "Sacar un 1" por lo tanto $\overline{B} = \{1\}$.
Propiedad 1: Para todo suceso A, B:
El suceso A o el suceso B es el suceso $\mathbf{A \cup B}$ (unión).
El suceso A y el suceso B es el suceso $\mathbf{A \cap B}$ (intersección).
$$$$ \color{red}{A \cap \overline{A} = \emptyset \quad \text{y} \quad A \cup \overline{A} = \Omega.} $$$$
En el ejemplo:
Sea A el suceso "Sacar un número par"; $A = \{2, 4, 6\}$
y D el suceso "Sacar un número estrictamente menor que 3"; $D = \{1, 2\}$.
A o D está formado por los resultados contenidos en A y en D; $A \cup D = \{1, 2, 4, 6\}$.
A y D está formado por los resultados comunes a A y a D; $A \cap D = \{2\}$.