Séries statistiques à une variable
I - Les indicateurs de dispersion
Définition 1 : La médiane $Me$ est la valeur qui partage la série en 2 groupes tels que :
- 50 % au moins des valeurs sont inférieures ou égales à $Me$
- 50 % au moins des valeurs sont supérieures ou égales à $Me$.
Remarque : La médiane est la valeur centrale de la série.
Définition 2 :
-
Le premier quartile est la valeur $\color{red}{Q_1}$ qui partage la série en 2 groupes tels que :
- 25 % au moins des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_1$
- 75 % au moins des valeurs sont supérieures ou égales à $Q_1$.
-
Le troisième quartile est la valeur $\color{red}{Q_3}$ qui partage la série en 2 groupes tels que :
- 75 % au moins des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_3$
- 25 % au moins des valeurs sont supérieures ou égales à $Q_3$.
Définition 3 :
- On appelle intervalle interquartile l'intervalle $\color{red}{[Q_1 ; Q_3]}$.
- On appelle écart interquartile la différence $\color{red}{Q_3 - Q_1}$.
- On appelle diagramme en boîte le schéma ci-dessous réalisé à l'échelle :
Remarque : L'intervalle interquartile mesure la dispersion de la série. En effet, il contient environ 50 % des valeurs de la série.
II - Les indicateurs de tendance centrale
Étude de la série statistique ci-dessous :
| Valeur $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_k$ |
| Effectif $n_i$ | $n_1$ | $n_2$ | $\dots$ | $n_k$ |
Définition 4 : On appelle moyenne d'une série statistique, notée $\color{red}{\overline{x}}$, le nombre :
$$ \color{red}{\overline{x} = \frac{n_1 \times x_1 + n_2 \times x_2 + \dots + n_k \times x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}} $$
Définition 5 : On appelle écart-type d'une série statistique noté $\color{red}{\sigma}$, le nombre :
$$ \color{red}{\sigma = \sqrt{\frac{n_1(x_1 - \overline{x})^2 + n_2(x_2 - \overline{x})^2 + \dots + n_k(x_k - \overline{x})^2}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}}} $$
Remarque : L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées et moins la moyenne est représentative des valeurs de la série.
Explication : de l'écart-type Le comptable d'une entreprise de dépannage a relevé le kilométrage de chaque véhicule pendant une semaine.
On a obtenu les nombres suivants, en kilomètres :
| 438 | 770 | 226 | 479 | 685 | 525 | 374 | 591 | 690 | 810 |
| 587 | 213 | 690 | 853 | 421 | 352 | 511 | 260 | 586 | 675 |
On a représenté toutes les valeurs de la série sur le graphique ci-dessous, ainsi que l'écart entre la moyenne et chaque valeur (traits en pointillés bleus). L'écart-type calcule la moyenne des longueurs des segments en pointillés bleus, c'est-à-dire l'écart moyen des valeurs par rapport à la moyenne.
Propriété 1 :
- Si on ajoute à toutes les valeurs d'une série statistique de moyenne $\overline{x}$ un même nombre $\color{red}{a}$ alors la moyenne de la série obtenue est $\color{red}{\overline{x} + a}$.
- Si on multiplie toutes les valeurs d'une série statistique de moyenne $\overline{x}$ par un même nombre $\color{red}{b}$ alors la moyenne de la série obtenue est $\color{red}{\overline{x} \times b}$.
Démonstration :
On ajoute $a$ à toutes les valeurs de la série.
| Valeur $x_i$ | $x_1 + a$ | $x_2 + a$ | $\dots$ | $x_k + a$ |
| Effectif $n_i$ | $n_1$ | $n_2$ | $\dots$ | $n_k$ |
Calcul de la moyenne :
$$$$ \overline{X} = \frac{n_1 \times (x_1 + a) + n_2 \times (x_2 + a) + \dots + n_k \times (x_k + a)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{n_1 x_1 + n_1 a + n_2 x_2 + n_2 a + \dots + n_k x_k + n_k a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k + n_1 a + n_2 a + \dots + n_k a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} + \frac{n_1 a + n_2 a + \dots + n_k a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \overline{x} + \frac{(n_1 + n_2 + \dots + n_k) \times a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = \overline{x} + a $$$$
On multiplie toutes les valeurs de la série par $b$.
| Valeur $x_i$ | $x_1 \times b$ | $x_2 \times b$ | $\dots$ | $x_k \times b$ |
| Effectif $n_i$ | $n_1$ | $n_2$ | $\dots$ | $n_k$ |
Calcul de la moyenne :
$$$$ \overline{Y} = \frac{n_1 \times (x_1 \times b) + n_2 \times (x_2 \times b) + \dots + n_k \times (x_k \times b)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{b \times (x_1 \times n_1) + b \times (x_2 \times n_2) + \dots + b \times (x_k \times n_k)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{b \times (n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = b \times \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = b \times \overline{x} $$$$
III - Tableau croisé de deux caractères
Un tableau croisé de deux caractères comporte les valeurs de deux caractères et leurs effectifs.
Explication : Tableau croisé d'effectifs
Dans une classe de 35 élèves, 16 font du ski, 11 font du surf et 4 pratiquent les 2 sports.
On note les caractères A : "L'élève fait du ski" et B : "L'élève fait du surf".
| A | $\overline{A}$ | Total | |
| B | $A \cap B : 4$ | $\overline{A} \cap B : 7$ | B : 11 |
| $\overline{B}$ | $A \cap \overline{B} : 12$ | $\overline{A} \cap \overline{B} : 12$ | $\overline{B} : 24$ |
| Total | A : 16 | $\overline{A} : 19$ | 35 |
Définition 6 : On appelle fréquence marginale de A, notée $\color{red}{f_A}$ :
$$ \color{red}{f_A = \frac{\text{effectif de A}}{\text{effectif total}}} $$
Explication : Calcul de fréquence marginale
La fréquence marginale des élèves qui font du ski est $f_A = \dfrac{16}{35}$.
Définition 7 : On appelle fréquence conditionnelle de A sachant B, notée $\color{red}{f_B(A)}$ :
$$ \color{red}{f_B(A) = \frac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de B}}} $$
Explication : Calcul de fréquence conditionnelle
La fréquence conditionnelle $f_B(A)$ est la fréquence des élèves qui font du ski parmi ceux qui font du surf.
$$ f_B(A) = \frac{4}{11} $$
Single variable statistics
I - Measures of dispersion
Definition 1: The median $Me$ is the value that divides the data set into 2 groups such that:
- At least 50% of the values are less than or equal to $Me$
- At least 50% of the values are greater than or equal to $Me$.
Note: The median is the central value of the data set.
Definition 2:
-
The first quartile is the value $\color{red}{Q_1}$ that divides the data set into 2 groups such that:
- At least 25% of the values are less than or equal to $Q_1$
- At least 75% of the values are greater than or equal to $Q_1$.
-
The third quartile is the value $\color{red}{Q_3}$ that divides the data set into 2 groups such that:
- At least 75% of the values are less than or equal to $Q_3$
- At least 25% of the values are greater than or equal to $Q_3$.
Definition 3:
- The interval $\color{red}{[Q_1 ; Q_3]}$ is called the interquartile range.
- The difference $\color{red}{Q_3 - Q_1}$ is called the interquartile deviation (IQR).
- The diagram below, drawn to scale, is called a box plot (box-and-whisker plot):
Note: The interquartile range measures the dispersion of the data set. Indeed, it contains about 50% of the data values.
II - Measures of central tendency
Study of the statistical data set below:
| Value $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_k$ |
| Frequency $n_i$ | $n_1$ | $n_2$ | $\dots$ | $n_k$ |
Definition 4: The mean of a statistical data set, denoted $\color{red}{\overline{x}}$, is the number:
$$ \color{red}{\overline{x} = \frac{n_1 \times x_1 + n_2 \times x_2 + \dots + n_k \times x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}} $$
Definition 5: The standard deviation of a statistical data set, denoted $\color{red}{\sigma}$, is the number:
$$ \color{red}{\sigma = \sqrt{\frac{n_1(x_1 - \overline{x})^2 + n_2(x_2 - \overline{x})^2 + \dots + n_k(x_k - \overline{x})^2}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}}} $$
Note: The standard deviation measures the dispersion of values around the mean.
The larger it is, the more the values are dispersed and the less the mean is representative of the values of the data set.
Explanation: of the standard deviation The accountant of a towing company recorded the mileage of each vehicle during one week.
The following numbers were obtained, in kilometers:
| 438 | 770 | 226 | 479 | 685 | 525 | 374 | 591 | 690 | 810 |
| 587 | 213 | 690 | 853 | 421 | 352 | 511 | 260 | 586 | 675 |
All the values of the data set are represented on the graph below, as well as the deviation between the mean and each value (dashed blue lines). The standard deviation calculates the average of the lengths of the blue dashed segments, i.e., the average deviation of the values from the mean.
Property 1:
- If we add the same number $\color{red}{a}$ to all values of a statistical data set with mean $\overline{x}$, then the mean of the new data set is $\color{red}{\overline{x} + a}$.
- If we multiply all values of a statistical data set with mean $\overline{x}$ by the same number $\color{red}{b}$, then the mean of the new data set is $\color{red}{\overline{x} \times b}$.
Proof:
We add $a$ to all values of the data set.
| Value $x_i$ | $x_1 + a$ | $x_2 + a$ | $\dots$ | $x_k + a$ |
| Frequency $n_i$ | $n_1$ | $n_2$ | $\dots$ | $n_k$ |
Calculation of the mean:
$$$$ \overline{X} = \frac{n_1 \times (x_1 + a) + n_2 \times (x_2 + a) + \dots + n_k \times (x_k + a)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{n_1 x_1 + n_1 a + n_2 x_2 + n_2 a + \dots + n_k x_k + n_k a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k + n_1 a + n_2 a + \dots + n_k a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} + \frac{n_1 a + n_2 a + \dots + n_k a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \overline{x} + \frac{(n_1 + n_2 + \dots + n_k) \times a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = \overline{x} + a $$$$
We multiply all values of the data set by $b$.
| Value $x_i$ | $x_1 \times b$ | $x_2 \times b$ | $\dots$ | $x_k \times b$ |
| Frequency $n_i$ | $n_1$ | $n_2$ | $\dots$ | $n_k$ |
Calculation of the mean:
$$$$ \overline{Y} = \frac{n_1 \times (x_1 \times b) + n_2 \times (x_2 \times b) + \dots + n_k \times (x_k \times b)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{b \times (x_1 \times n_1) + b \times (x_2 \times n_2) + \dots + b \times (x_k \times n_k)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{b \times (n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = b \times \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = b \times \overline{x} $$$$
III - Two-way cross-tabulation
A cross-tabulation of two categorical variables includes the values of two variables and their frequencies.
Explanation: Contingency table (cross-tabulation)
In a class of 35 students, 16 ski, 11 surf, and 4 practice both sports.
We denote the characteristics A: "The student skis" and B: "The student surfs".
| A | $\overline{A}$ | Total | |
| B | $A \cap B : 4$ | $\overline{A} \cap B : 7$ | B : 11 |
| $\overline{B}$ | $A \cap \overline{B} : 12$ | $\overline{A} \cap \overline{B} : 12$ | $\overline{B} : 24$ |
| Total | A : 16 | $\overline{A} : 19$ | 35 |
Definition 6: The marginal frequency of A, denoted $\color{red}{f_A}$, is:
$$ \color{red}{f_A = \frac{\text{frequency of A}}{\text{total frequency}}} $$
Explanation: Calculation of marginal frequency
The marginal frequency of students who ski is $f_A = \dfrac{16}{35}$.
Definition 7: The conditional frequency of A given B, denoted $\color{red}{f_B(A)}$, is:
$$ \color{red}{f_B(A) = \frac{\text{frequency of } A \cap B}{\text{frequency of B}}} $$
Explanation: Calculation of conditional frequency
The conditional frequency $f_B(A)$ is the frequency of students who ski among those who surf.
$$ f_B(A) = \frac{4}{11} $$
Series estadísticas de una variable
I - Medidas de dispersión
Definición 1: La mediana $Me$ es el valor que divide la serie en 2 grupos tales que:
- Al menos el 50 % de los valores son menores o iguales a $Me$
- Al menos el 50 % de los valores son mayores o iguales a $Me$.
Nota: La mediana es el valor central de la serie.
Definición 2:
-
El primer cuartil es el valor $\color{red}{Q_1}$ que divide la serie en 2 grupos tales que:
- Al menos el 25 % de los valores son menores o iguales a $Q_1$
- Al menos el 75 % de los valores son mayores o iguales a $Q_1$.
-
El tercer cuartil es el valor $\color{red}{Q_3}$ que divide la serie en 2 grupos tales que:
- Al menos el 75 % de los valores son menores o iguales a $Q_3$
- Al menos el 25 % de los valores son mayores o iguales a $Q_3$.
Definición 3:
- Llamamos rango intercuartílico al intervalo $\color{red}{[Q_1 ; Q_3]}$.
- Llamamos amplitud intercuartílica (RIC) a la diferencia $\color{red}{Q_3 - Q_1}$.
- Llamamos diagrama de caja (o de bigotes) al esquema siguiente realizado a escala:
Nota: El rango intercuartílico mide la dispersión de la serie. En efecto, contiene aproximadamente el 50 % de los valores de la serie.
II - Medidas de tendencia central
Estudio de la serie estadística siguiente:
| Valor $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_k$ |
| Frecuencia absoluta $n_i$ | $n_1$ | $n_2$ | $\dots$ | $n_k$ |
Definición 4: Llamamos media de una serie estadística, denotada $\color{red}{\overline{x}}$, al número:
$$ \color{red}{\overline{x} = \frac{n_1 \times x_1 + n_2 \times x_2 + \dots + n_k \times x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}} $$
Definición 5: Llamamos desviación típica (o estándar) de una serie estadística denotada $\color{red}{\sigma}$, al número:
$$ \color{red}{\sigma = \sqrt{\frac{n_1(x_1 - \overline{x})^2 + n_2(x_2 - \overline{x})^2 + \dots + n_k(x_k - \overline{x})^2}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}}} $$
Nota: La desviación típica mide la dispersión de los valores alrededor de la media.
Cuanto mayor es, más dispersos están los valores y menos representativa es la media de los valores de la serie.
Explicación: de la desviación típica El contable de una empresa de asistencia ha registrado el kilometraje de cada vehículo durante una semana.
Se han obtenido los siguientes números, en kilómetros:
| 438 | 770 | 226 | 479 | 685 | 525 | 374 | 591 | 690 | 810 |
| 587 | 213 | 690 | 853 | 421 | 352 | 511 | 260 | 586 | 675 |
Se han representado todos los valores de la serie en el gráfico siguiente, así como la desviación entre la media y cada valor (líneas de puntos azules). La desviación típica calcula la media de las longitudes de los segmentos de puntos azules, es decir, la desviación media de los valores con respecto a la media.
Propiedad 1:
- Si sumamos a todos los valores de una serie estadística de media $\overline{x}$ un mismo número $\color{red}{a}$, entonces la media de la serie obtenida es $\color{red}{\overline{x} + a}$.
- Si multiplicamos todos los valores de una serie estadística de media $\overline{x}$ por un mismo número $\color{red}{b}$, entonces la media de la serie obtenida es $\color{red}{\overline{x} \times b}$.
Demostración:
Sumamos $a$ a todos los valores de la serie.
| Valor $x_i$ | $x_1 + a$ | $x_2 + a$ | $\dots$ | $x_k + a$ |
| Frecuencia $n_i$ | $n_1$ | $n_2$ | $\dots$ | $n_k$ |
Cálculo de la media:
$$$$ \overline{X} = \frac{n_1 \times (x_1 + a) + n_2 \times (x_2 + a) + \dots + n_k \times (x_k + a)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{n_1 x_1 + n_1 a + n_2 x_2 + n_2 a + \dots + n_k x_k + n_k a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k + n_1 a + n_2 a + \dots + n_k a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} + \frac{n_1 a + n_2 a + \dots + n_k a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \overline{x} + \frac{(n_1 + n_2 + \dots + n_k) \times a}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = \overline{x} + a $$$$
Multiplicamos todos los valores de la serie por $b$.
| Valor $x_i$ | $x_1 \times b$ | $x_2 \times b$ | $\dots$ | $x_k \times b$ |
| Frecuencia $n_i$ | $n_1$ | $n_2$ | $\dots$ | $n_k$ |
Cálculo de la media:
$$$$ \overline{Y} = \frac{n_1 \times (x_1 \times b) + n_2 \times (x_2 \times b) + \dots + n_k \times (x_k \times b)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{b \times (x_1 \times n_1) + b \times (x_2 \times n_2) + \dots + b \times (x_k \times n_k)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = \frac{b \times (n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k)}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $$$$
$$$$ = b \times \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = b \times \overline{x} $$$$
III - Tabla de contingencia (o cruzada)
Una tabla cruzada de dos caracteres contiene los valores de dos caracteres y sus frecuencias.
Explicación: Tabla de frecuencias cruzadas
En una clase de 35 alumnos, 16 esquían, 11 hacen surf y 4 practican ambos deportes.
Llamamos a los caracteres A: "El alumno esquía" y B: "El alumno hace surf".
| A | $\overline{A}$ | Total | |
| B | $A \cap B : 4$ | $\overline{A} \cap B : 7$ | B : 11 |
| $\overline{B}$ | $A \cap \overline{B} : 12$ | $\overline{A} \cap \overline{B} : 12$ | $\overline{B} : 24$ |
| Total | A : 16 | $\overline{A} : 19$ | 35 |
Definición 6: Llamamos frecuencia marginal de A, denotada $\color{red}{f_A}$ a:
$$ \color{red}{f_A = \frac{\text{frecuencia absoluta de A}}{\text{frecuencia absoluta total}}} $$
Explicación: Cálculo de frecuencia marginal
La frecuencia marginal de los alumnos que esquían es $f_A = \dfrac{16}{35}$.
Definición 7: Llamamos frecuencia condicionada de A sabiendo B, denotada $\color{red}{f_B(A)}$ a:
$$ \color{red}{f_B(A) = \frac{\text{frecuencia absoluta de } A \cap B}{\text{frecuencia absoluta de B}}} $$
Explicación: Cálculo de frecuencia condicionada
La frecuencia condicionada $f_B(A)$ es la frecuencia de los alumnos que esquían entre los que hacen surf.
$$ f_B(A) = \frac{4}{11} $$