Taux d'évolution
I - Taux d'évolution et pourcentage d'évolution
Définition 1 : On appelle taux d'évolution $T$ de la quantité $Q_0$ à la quantité $Q_1$ le nombre :
$$ \color{red}{T = \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0}} $$
Propriété 1 : Si $t$ est le pourcentage d'évolution de $Q_0$ à $Q_1$ et $T$ le taux d'évolution de $Q_0$ à $Q_1$ alors :
$$ \color{red}{T = \frac{t}{100}} $$
Démonstration : Taux d'évolution et pourcentage d'évolution
On appelle $Q_0 \neq 0$ la quantité initiale et $Q_1$ la quantité finale augmentée de $t\ \%$.
D'après la propriété 1, l'augmentation est égale à $\dfrac{t}{100} \times Q_0$ donc $Q_1 = Q_0 + \dfrac{t}{100} \times Q_0$.
$$Q_1 = Q_0 + \frac{t}{100} \times Q_0 \iff Q_1 - Q_0 = \frac{t}{100} \times Q_0$$
$$\iff (Q_1 - Q_0) \times \frac{1}{Q_0} = \frac{t}{100} \times Q_0 \times \frac{1}{Q_0}$$
$$\iff \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0} = \frac{t}{100} \quad \text{donc} \quad T = \frac{t}{100}$$
Conséquence : En utilisant la propriété 3, on obtient : $\color{red}{Q_1 = (1 + T)Q_0}$
Méthode : Taux d'évolution et pourcentage d'évolution
Calculer le taux d'évolution et le taux d'évolution en pourcentage d'un prix qui passe de $20\ €$ à $45\ €$.
$$P_0 = 20\ € \xrightarrow{\quad T \quad} P_1 = 45\ €$$
$$T = \frac{P_1 - P_0}{P_0} = \frac{45 - 20}{20} = 1,25 \quad \text{et} \quad T = \frac{t}{100} \quad \text{donc} \quad t = 100 \times T = 100 \times 1,25 = 125\ (\%)$$
Remarque :
- Lors d'une augmentation $T > 0$ et lors d'une réduction $T < 0$.
- Les quantités doivent être exprimées dans la même unité.
II - Évolutions successives
Propriété 2 :
- Si $T_1$ est le taux d'évolution de $Q_0$ à $Q_1$, et $T_2$ le taux d'évolution de $Q_1$ à $Q_2$ alors :
$$ \color{red}{Q_2 = (1 + T_1)(1 + T_2)Q_0} $$ - Si $T$ est le taux d'évolution de $Q_0$ à $Q_2$ alors $\color{red}{1 + T = (1 + T_1)(1 + T_2)}$.
Méthode : Taux d'évolution global
Un article augmente de $20\ \%$ puis diminue de $20\ \%$. Calculer son pourcentage d'évolution global $t$.
$$P_0 \xrightarrow{\quad T_1 = 0,2 \quad} P_1 \xrightarrow{\quad T_2 = -0,2 \quad} P_2$$
$$1 + T = (1 + T_1)(1 + T_2) = (1 + 0,2)(1 - 0,2) = 0,96 \quad \text{donc} \quad T = 0,96 - 1 = -0,04$$
$$\text{donc } t = T \times 100 = -0,04 \times 100 = -4\ (\%)$$
III - Évolution réciproque
Définition 2 : On appelle taux d'évolution réciproque de la quantité $Q_0$ à la quantité $Q_1$ le nombre :
$$ \color{red}{T' = \frac{Q_0 - Q_1}{Q_1}} $$
Propriété 3 : Si $T$ est le taux d'évolution de $Q_0$ à $Q_1$ et $T'$ le taux d'évolution réciproque de $Q_0$ à $Q_1$ alors :
$$ \color{red}{1 + T' = \frac{1}{1 + T}} $$
Démonstration : Taux d'évolution réciproque
$$1 + T' = \frac{1}{1 + T} \iff (1 + T') \times (1 + T) = 1$$
$$(1 + T') \times (1 + T) = \left(1 + \frac{Q_0 - Q_1}{Q_1}\right) \left(1 + \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0}\right)$$
$$= \left(\frac{Q_1}{Q_1} + \frac{Q_0 - Q_1}{Q_1}\right) \left(\frac{Q_0}{Q_0} + \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0}\right)$$
$$= \left(\frac{Q_1 + Q_0 - Q_1}{Q_1}\right) \left(\frac{Q_0 + Q_1 - Q_0}{Q_0}\right)$$
$$= \left(\frac{Q_0}{Q_1}\right) \left(\frac{Q_1}{Q_0}\right) = \frac{Q_0 \times Q_1}{Q_1 \times Q_0} = 1$$
Méthode : Taux d'évolution réciproque
Un article augmente de $20\ \%$. Calculer le pourcentage d'évolution réciproque $t'$.
$$P_0 \xrightarrow{\quad T = 0,2 \quad} P_1 \quad \text{et} \quad P_1 \xrightarrow{\quad T' \quad} P_0$$
$$1 + T' = \frac{1}{1 + T} = \frac{1}{1 + 0,2} = \frac{1}{1,2} \quad \text{donc} \quad T' = \frac{1}{1,2} - 1 = -\frac{1}{6} \approx -0,17$$
$$\text{donc } t' = 100 \times T' \approx -17\ (\%)$$
Rate of change
I - Rate of change and percentage change
Definition 1: The rate of change $T$ from the quantity $Q_0$ to the quantity $Q_1$ is the number:
$$ \color{red}{T = \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0}} $$
Property 1: If $t$ is the percentage change from $Q_0$ to $Q_1$ and $T$ the rate of change from $Q_0$ to $Q_1$ then:
$$ \color{red}{T = \frac{t}{100}} $$
Proof: Rate of change and percentage change
Let $Q_0 \neq 0$ be the initial quantity and $Q_1$ the final quantity increased by $t\ \%$.
According to property 1, the increase is equal to $\dfrac{t}{100} \times Q_0$ so $Q_1 = Q_0 + \dfrac{t}{100} \times Q_0$.
$$Q_1 = Q_0 + \frac{t}{100} \times Q_0 \iff Q_1 - Q_0 = \frac{t}{100} \times Q_0$$
$$\iff (Q_1 - Q_0) \times \frac{1}{Q_0} = \frac{t}{100} \times Q_0 \times \frac{1}{Q_0}$$
$$\iff \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0} = \frac{t}{100} \quad \text{so} \quad T = \frac{t}{100}$$
Consequence: Using property 3, we get: $\color{red}{Q_1 = (1 + T)Q_0}$
Method: Rate of change and percentage change
Calculate the rate of change and the percentage change of a price that goes from $20\ €$ to $45\ €$.
$$P_0 = 20\ € \xrightarrow{\quad T \quad} P_1 = 45\ €$$
$$T = \frac{P_1 - P_0}{P_0} = \frac{45 - 20}{20} = 1.25 \quad \text{and} \quad T = \frac{t}{100} \quad \text{so} \quad t = 100 \times T = 100 \times 1.25 = 125\ (\%)$$
Note:
- For an increase $T > 0$ and for a decrease $T < 0$.
- The quantities must be expressed in the same unit.
II - Successive changes
Property 2:
- If $T_1$ is the rate of change from $Q_0$ to $Q_1$, and $T_2$ the rate of change from $Q_1$ to $Q_2$ then:
$$ \color{red}{Q_2 = (1 + T_1)(1 + T_2)Q_0} $$ - If $T$ is the rate of change from $Q_0$ to $Q_2$ then $\color{red}{1 + T = (1 + T_1)(1 + T_2)}$.
Method: Overall rate of change
An item increases by $20\ \%$ then decreases by $20\ \%$. Calculate its overall percentage change $t$.
$$P_0 \xrightarrow{\quad T_1 = 0.2 \quad} P_1 \xrightarrow{\quad T_2 = -0.2 \quad} P_2$$
$$1 + T = (1 + T_1)(1 + T_2) = (1 + 0.2)(1 - 0.2) = 0.96 \quad \text{so} \quad T = 0.96 - 1 = -0.04$$
$$\text{so } t = T \times 100 = -0.04 \times 100 = -4\ (\%)$$
III - Reciprocal change
Definition 2: The reciprocal rate of change from the quantity $Q_0$ to the quantity $Q_1$ is the number:
$$ \color{red}{T' = \frac{Q_0 - Q_1}{Q_1}} $$
Property 3: If $T$ is the rate of change from $Q_0$ to $Q_1$ and $T'$ the reciprocal rate of change from $Q_0$ to $Q_1$ then:
$$ \color{red}{1 + T' = \frac{1}{1 + T}} $$
Proof: Reciprocal rate of change
$$1 + T' = \frac{1}{1 + T} \iff (1 + T') \times (1 + T) = 1$$
$$(1 + T') \times (1 + T) = \left(1 + \frac{Q_0 - Q_1}{Q_1}\right) \left(1 + \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0}\right)$$
$$= \left(\frac{Q_1}{Q_1} + \frac{Q_0 - Q_1}{Q_1}\right) \left(\frac{Q_0}{Q_0} + \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0}\right)$$
$$= \left(\frac{Q_1 + Q_0 - Q_1}{Q_1}\right) \left(\frac{Q_0 + Q_1 - Q_0}{Q_0}\right)$$
$$= \left(\frac{Q_0}{Q_1}\right) \left(\frac{Q_1}{Q_0}\right) = \frac{Q_0 \times Q_1}{Q_1 \times Q_0} = 1$$
Method: Reciprocal rate of change
An item increases by $20\ \%$. Calculate the reciprocal percentage change $t'$.
$$P_0 \xrightarrow{\quad T = 0.2 \quad} P_1 \quad \text{and} \quad P_1 \xrightarrow{\quad T' \quad} P_0$$
$$1 + T' = \frac{1}{1 + T} = \frac{1}{1 + 0.2} = \frac{1}{1.2} \quad \text{so} \quad T' = \frac{1}{1.2} - 1 = -\frac{1}{6} \approx -0.17$$
$$\text{so } t' = 100 \times T' \approx -17\ (\%)$$
Tasa de variación
I - Tasa de variación y porcentaje de variación
Definición 1: Llamamos tasa de variación $T$ de la cantidad $Q_0$ a la cantidad $Q_1$ al número:
$$ \color{red}{T = \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0}} $$
Propiedad 1: Si $t$ es el porcentaje de variación de $Q_0$ a $Q_1$ y $T$ la tasa de variación de $Q_0$ a $Q_1$ entonces:
$$ \color{red}{T = \frac{t}{100}} $$
Demostración: Tasa de variación y porcentaje de variación
Llamamos $Q_0 \neq 0$ a la cantidad inicial y $Q_1$ a la cantidad final aumentada en un $t\ \%$.
Según la propiedad 1, el aumento es igual a $\dfrac{t}{100} \times Q_0$ por lo que $Q_1 = Q_0 + \dfrac{t}{100} \times Q_0$.
$$Q_1 = Q_0 + \frac{t}{100} \times Q_0 \iff Q_1 - Q_0 = \frac{t}{100} \times Q_0$$
$$\iff (Q_1 - Q_0) \times \frac{1}{Q_0} = \frac{t}{100} \times Q_0 \times \frac{1}{Q_0}$$
$$\iff \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0} = \frac{t}{100} \quad \text{por lo tanto} \quad T = \frac{t}{100}$$
Consecuencia: Utilizando la propiedad 3, obtenemos: $\color{red}{Q_1 = (1 + T)Q_0}$
Método: Tasa de variación y porcentaje de variación
Calcular la tasa de variación y la tasa de variación en porcentaje de un precio que pasa de $20\ €$ a $45\ €$.
$$P_0 = 20\ € \xrightarrow{\quad T \quad} P_1 = 45\ €$$
$$T = \frac{P_1 - P_0}{P_0} = \frac{45 - 20}{20} = 1,25 \quad \text{y} \quad T = \frac{t}{100} \quad \text{por lo tanto} \quad t = 100 \times T = 100 \times 1,25 = 125\ (\%)$$
Nota:
- Durante un aumento $T > 0$ y durante una disminución $T < 0$.
- Las cantidades deben estar expresadas en la misma unidad.
II - Variaciones sucesivas
Propiedad 2:
- Si $T_1$ es la tasa de variación de $Q_0$ a $Q_1$, y $T_2$ la tasa de variación de $Q_1$ a $Q_2$ entonces:
$$ \color{red}{Q_2 = (1 + T_1)(1 + T_2)Q_0} $$ - Si $T$ es la tasa de variación de $Q_0$ a $Q_2$ entonces $\color{red}{1 + T = (1 + T_1)(1 + T_2)}$.
Método: Tasa de variación global
Un artículo aumenta un $20\ \%$ y luego disminuye un $20\ \%$. Calcular su porcentaje de variación global $t$.
$$P_0 \xrightarrow{\quad T_1 = 0,2 \quad} P_1 \xrightarrow{\quad T_2 = -0,2 \quad} P_2$$
$$1 + T = (1 + T_1)(1 + T_2) = (1 + 0,2)(1 - 0,2) = 0,96 \quad \text{por lo tanto} \quad T = 0,96 - 1 = -0,04$$
$$\text{por lo tanto } t = T \times 100 = -0,04 \times 100 = -4\ (\%)$$
III - Variación recíproca
Definición 2: Llamamos tasa de variación recíproca de la cantidad $Q_0$ a la cantidad $Q_1$ al número:
$$ \color{red}{T' = \frac{Q_0 - Q_1}{Q_1}} $$
Propiedad 3: Si $T$ es la tasa de variación de $Q_0$ a $Q_1$ y $T'$ la tasa de variación recíproca de $Q_0$ a $Q_1$ entonces:
$$ \color{red}{1 + T' = \frac{1}{1 + T}} $$
Demostración: Tasa de variación recíproca
$$1 + T' = \frac{1}{1 + T} \iff (1 + T') \times (1 + T) = 1$$
$$(1 + T') \times (1 + T) = \left(1 + \frac{Q_0 - Q_1}{Q_1}\right) \left(1 + \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0}\right)$$
$$= \left(\frac{Q_1}{Q_1} + \frac{Q_0 - Q_1}{Q_1}\right) \left(\frac{Q_0}{Q_0} + \frac{Q_1 - Q_0}{Q_0}\right)$$
$$= \left(\frac{Q_1 + Q_0 - Q_1}{Q_1}\right) \left(\frac{Q_0 + Q_1 - Q_0}{Q_0}\right)$$
$$= \left(\frac{Q_0}{Q_1}\right) \left(\frac{Q_1}{Q_0}\right) = \frac{Q_0 \times Q_1}{Q_1 \times Q_0} = 1$$
Método: Tasa de variación recíproca
Un artículo aumenta un $20\ \%$. Calcular el porcentaje de variación recíproca $t'$.
$$P_0 \xrightarrow{\quad T = 0,2 \quad} P_1 \quad \text{y} \quad P_1 \xrightarrow{\quad T' \quad} P_0$$
$$1 + T' = \frac{1}{1 + T} = \frac{1}{1 + 0,2} = \frac{1}{1,2} \quad \text{por lo tanto} \quad T' = \frac{1}{1,2} - 1 = -\frac{1}{6} \approx -0,17$$
$$\text{por lo tanto } t' = 100 \times T' \approx -17\ (\%)$$