Droites du plan
I - Vecteur directeur d'une droite
Définition 1 : Soit $A$ et $B$ deux points distincts d'une droite $(d)$.
On appelle vecteur directeur de la droite $(d)$ tout vecteur colinéaire au vecteur $\color{red}{\overrightarrow{AB}}$.
Méthode : Tracer une droite donnée par un point et un vecteur directeur
Dans un repère $(O, I, J)$, construire la droite $(d)$ passant par le point $A(1 ; 2)$, de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.
- On place $A$.
- On trace $\vec{u}$ d'origine $A$.
- On trace $(d)$ passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$.
II - Équation cartésienne d'une droite
Propriété 1 : Toute droite $(d)$ du plan admet une équation de la forme $\color{red}{ax + by + c = 0}$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $\color{red}{(a, b) \neq (0, 0)}$.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite $(d)$.
Démonstration :
Soit $(d)$ une droite passant par un point $A(x_A ; y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$.
$$$M(x ; y) \in (d) \iff \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix} \text{ et } \vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \text{ sont colinéaires}$$$
$$$\iff x_{\overrightarrow{AM}} \times y_{\vec{u}} - y_{\overrightarrow{AM}} \times x_{\vec{u}} = 0 \iff (x - x_A) \times \beta - (y - y_A) \times \alpha = 0$$$
$$$\iff \beta x - \beta x_A - \alpha y + \alpha y_A = 0 \iff \beta x - \alpha y - \beta x_A + \alpha y_A = 0$$$
$$$\iff ax + by + c = 0 \text{ avec } a = \beta, b = -\alpha \text{ et } c = -\beta x_A + \alpha y_A.$$$
Méthode : Déterminer l'équation cartésienne d'une droite passant par 2 points
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(-1 ; 4)$ et $B(3 ; 2)$.
On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ d'où $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$.
Soit $M(x ; y)$, on calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix}$ d'où $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 4 \end{pmatrix}$.
$$$M(x ; y) \in (AB) \iff \overrightarrow{AM} \text{ et } \overrightarrow{AB} \text{ sont colinéaires}$$$
$$$\iff x_{\overrightarrow{AM}} \times y_{\overrightarrow{AB}} - y_{\overrightarrow{AM}} \times x_{\overrightarrow{AB}} = 0 \iff (x + 1) \times (-2) - (y - 4) \times 4 = 0$$$
$$$\iff -2x - 2 - 4y + 16 = 0 \iff -2x - 4y + 14 = 0 \iff -x - 2y + 7 = 0.$$$
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $-x - 2y + 7 = 0$.
Cas particulier :
- L'équation de l'axe des abscisses $(Ox)$ est $y = 0$.
- L'équation de l'axe des ordonnées $(Oy)$ est $x = 0$.
Propriété 2 : Le vecteur $\color{red}{\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}}$ est un vecteur directeur de la droite $(d) : \color{red}{ax + by + c = 0} \text{ avec } \color{red}{(a, b) \neq (0, 0)}$.
Démonstration :
Pour raccourcir la démonstration, on se limite au cas où $a \neq 0$ et $b \neq 0$.
Les points $A\left(0 ; \dfrac{-c}{b}\right)$ et $B\left(\dfrac{-c}{a} ; 0\right)$ appartiennent à la droite $(d) : ax + by + c = 0$.
D'où $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} \dfrac{-c}{a} \\ \dfrac{c}{b} \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$. (attention au signe de l'ordonnée de $B$)
$$$x_{\vec{u}} \times y_{\overrightarrow{AB}} - y_{\vec{u}} \times x_{\overrightarrow{AB}} = -b \times \left(\dfrac{c}{b}\right) - a \times \left(\dfrac{-c}{a}\right) = -c + c = 0 \text{ donc } \vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \text{ et } \overrightarrow{AB} \text{ sont colinéaires.}$$$
Donc $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
III - Équation réduite d'une droite
Propriété 3 :
- Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme $\color{red}{y = mx + p}$ avec $\color{red}{m, p \in \mathbb{R}}$.
- Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme $\color{red}{x = k}$ avec $\color{red}{k \in \mathbb{R}}$.
Démonstration :
Dans un repère $(O, I, J)$, toute droite $(d)$ a une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}, (a, b) \neq (0, 0)$. $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Le vecteur $\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de l'axe des ordonnées.
$$$(d) \parallel (Oy) \iff \vec{j} \text{ et } \vec{u} \text{ colinéaires } \iff x_{\vec{j}} \times y_{\vec{u}} - y_{\vec{j}} \times x_{\vec{u}} = 0 \iff 0 \times a - 1 \times (-b) = 0 \iff b = 0.$$$
Si $b \neq 0$ alors $\vec{j}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires donc $(d)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et $ax + by + c = 0 \iff by = -ax - c \iff y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} \text{ donc } y = mx + p \text{ avec } m = -\dfrac{a}{b} \text{ et } p = -\dfrac{c}{b}$.
Si $b = 0$ alors $\vec{j}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires donc $(d)$ est parallèle à l'axe des ordonnées et $ax + 0y + c = 0 \iff ax = -c \iff x = -\dfrac{c}{a} \text{ donc } x = k \text{ avec } k = -\dfrac{c}{a}$.
Vocabulaire :
- Le réel $m$ s'appelle le coefficient directeur de la droite.
- Le réel $p$ s'appelle l'ordonnée à l'origine ; c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
Propriété 4 : Soit $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points du plan tels que $\color{red}{x_A \neq x_B}$.
- Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $\color{red}{m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}}$.
- Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\color{red}{\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}}$.
Démonstration :
Si $x_A \neq x_B$ alors la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées donc elle admet une équation réduite de la forme $y = mx + p$ avec $m, p \in \mathbb{R}$.
$$$A \in (AB) \iff y_A = mx_A + p \text{ et } B \in (AB) \iff y_B = mx_B + p$$$
$$d'où $p = y_A - mx_A = y_B - mx_B \iff mx_B - mx_A = y_B - y_A \iff m(x_B - x_A) = y_B - y_A$$$
$$or $x_A \neq x_B \text{ donc } m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.$$
$$$y = mx + p \iff mx - y + p = 0 \text{ donc } \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \text{ est un vecteur directeur de } (AB)$.$$
Interprétation graphique du coefficient directeur
$(O, I, J)$ est un repère orthonormé.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$$$\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{CB}{CA} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = m$$$
donc le coefficient directeur $m$ de la droite détermine la pente de la droite.
Si $m > 0$ alors la droite "monte".
Si $m < 0$ alors la droite "descend".
Si $m = 0$ alors la droite est parallèle à $(Ox)$.
Propriété 5 : Les droites $(d) : y = mx + p \text{ et } (d') : y = m'x + p'$ sont parallèles si et seulement si $\color{red}{m = m'}$.
Démonstration :
Si $(d) : y = mx + p \text{ et } (d') : y = m'x + p' \text{ alors } \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \text{ est un vecteur directeur de } (d) \text{ et } \vec{u}'\begin{pmatrix} 1 \\ m' \end{pmatrix} \text{ est un vecteur directeur de } (d')$.
$(d) \parallel (d') \iff \vec{u} \text{ et } \vec{u}' \text{ sont colinéaires } \iff x_{\vec{u}} \times y_{\vec{u}'} - y_{\vec{u}} \times x_{\vec{u}'} = 0 \iff 1 \times m' - m \times 1 = 0 \iff m = m'$.
Lines in a plane
I - Direction vector of a line
Definition 1: Let $A$ and $B$ be two distinct points of a line $(d)$.
Any vector collinear to the vector $\color{red}{\overrightarrow{AB}}$ is called a direction vector of the line $(d)$.
Method: Draw a line given a point and a direction vector
In a coordinate system $(O, I, J)$, draw the line $(d)$ passing through point $A(1 ; 2)$, with direction vector $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.
- Plot $A$.
- Draw $\vec{u}$ starting from $A$.
- Draw $(d)$ passing through $A$ and directed by $\vec{u}$.
II - Cartesian equation of a line
Property 1: Any line $(d)$ in the plane has an equation of the form $\color{red}{ax + by + c = 0}$ with $a, b, c \in \mathbb{R}$ and $\color{red}{(a, b) \neq (0, 0)}$.
This equation is called the cartesian equation of the line $(d)$.
Proof:
Let $(d)$ be a line passing through a point $A(x_A ; y_A)$ and with direction vector $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$.
$$$M(x ; y) \in (d) \iff \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix} \text{ and } \vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \text{ are collinear}$$$
$$$\iff x_{\overrightarrow{AM}} \times y_{\vec{u}} - y_{\overrightarrow{AM}} \times x_{\vec{u}} = 0 \iff (x - x_A) \times \beta - (y - y_A) \times \alpha = 0$$$
$$$\iff \beta x - \beta x_A - \alpha y + \alpha y_A = 0 \iff \beta x - \alpha y - \beta x_A + \alpha y_A = 0$$$
$$$\iff ax + by + c = 0 \text{ with } a = \beta, b = -\alpha \text{ and } c = -\beta x_A + \alpha y_A.$$$
Method: Determine the cartesian equation of a line passing through 2 points
Determine a cartesian equation of the line $(AB)$ with $A(-1 ; 4)$ and $B(3 ; 2)$.
We calculate the coordinates of $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ hence $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$.
Let $M(x ; y)$, we calculate the coordinates of $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix}$ hence $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 4 \end{pmatrix}$.
$$$M(x ; y) \in (AB) \iff \overrightarrow{AM} \text{ and } \overrightarrow{AB} \text{ are collinear}$$$
$$$\iff x_{\overrightarrow{AM}} \times y_{\overrightarrow{AB}} - y_{\overrightarrow{AM}} \times x_{\overrightarrow{AB}} = 0 \iff (x + 1) \times (-2) - (y - 4) \times 4 = 0$$$
$$$\iff -2x - 2 - 4y + 16 = 0 \iff -2x - 4y + 14 = 0 \iff -x - 2y + 7 = 0.$$$
A cartesian equation of the line $(AB)$ is $-x - 2y + 7 = 0$.
Special case:
- The equation of the x-axis $(Ox)$ is $y = 0$.
- The equation of the y-axis $(Oy)$ is $x = 0$.
Property 2: The vector $\color{red}{\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}}$ is a direction vector of the line $(d) : \color{red}{ax + by + c = 0} \text{ with } \color{red}{(a, b) \neq (0, 0)}$.
Proof:
To shorten the proof, we limit ourselves to the case where $a \neq 0$ and $b \neq 0$.
The points $A\left(0 ; \dfrac{-c}{b}\right)$ and $B\left(\dfrac{-c}{a} ; 0\right)$ belong to the line $(d) : ax + by + c = 0$.
Hence $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} \dfrac{-c}{a} \\ \dfrac{c}{b} \end{pmatrix}$ is a direction vector of $(d)$. (careful with the sign of B's y-coordinate)
$$$x_{\vec{u}} \times y_{\overrightarrow{AB}} - y_{\vec{u}} \times x_{\overrightarrow{AB}} = -b \times \left(\dfrac{c}{b}\right) - a \times \left(\dfrac{-c}{a}\right) = -c + c = 0 \text{ so } \vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \text{ and } \overrightarrow{AB} \text{ are collinear.}$$$
Therefore $\vec{u}$ is a direction vector of $(d)$.
III - Reduced equation of a line (Slope-intercept form)
Property 3:
- Any line not parallel to the y-axis has a reduced equation of the form $\color{red}{y = mx + p}$ with $\color{red}{m, p \in \mathbb{R}}$.
- Any line parallel to the y-axis has an equation of the form $\color{red}{x = k}$ with $\color{red}{k \in \mathbb{R}}$.
Proof:
In a coordinate system $(O, I, J)$, any line $(d)$ has a cartesian equation of the form $ax + by + c = 0$ with $a, b, c \in \mathbb{R}, (a, b) \neq (0, 0)$. $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ is a direction vector of $(d)$.
The vector $\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ is a direction vector of the y-axis.
$$$(d) \parallel (Oy) \iff \vec{j} \text{ and } \vec{u} \text{ collinear } \iff x_{\vec{j}} \times y_{\vec{u}} - y_{\vec{j}} \times x_{\vec{u}} = 0 \iff 0 \times a - 1 \times (-b) = 0 \iff b = 0.$$$
If $b \neq 0$ then $\vec{j}$ and $\vec{u}$ are not collinear so $(d)$ is not parallel to the y-axis and $ax + by + c = 0 \iff by = -ax - c \iff y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} \text{ so } y = mx + p \text{ with } m = -\dfrac{a}{b} \text{ and } p = -\dfrac{c}{b}$.
If $b = 0$ then $\vec{j}$ and $\vec{u}$ are collinear so $(d)$ is parallel to the y-axis and $ax + 0y + c = 0 \iff ax = -c \iff x = -\dfrac{c}{a} \text{ so } x = k \text{ with } k = -\dfrac{c}{a}$.
Vocabulary:
- The real number $m$ is called the slope (or gradient) of the line.
- The real number $p$ is called the y-intercept; it's the y-coordinate of the intersection point of the line with the y-axis.
Property 4: Let $A(x_A ; y_A)$ and $B(x_B ; y_B)$ be two points in the plane such that $\color{red}{x_A \neq x_B}$.
- The slope of the line $(AB)$ is $\color{red}{m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}}$.
- A direction vector of $(AB)$ is $\color{red}{\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}}$.
Proof:
If $x_A \neq x_B$ then the line $(AB)$ is not parallel to the y-axis so it has a reduced equation of the form $y = mx + p$ with $m, p \in \mathbb{R}$.
$$$A \in (AB) \iff y_A = mx_A + p \text{ and } B \in (AB) \iff y_B = mx_B + p$$$
$$hence $p = y_A - mx_A = y_B - mx_B \iff mx_B - mx_A = y_B - y_A \iff m(x_B - x_A) = y_B - y_A$$$
$$but $x_A \neq x_B \text{ so } m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.$$
$$$y = mx + p \iff mx - y + p = 0 \text{ so } \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \text{ is a direction vector of } (AB)$.$$
Graphical interpretation of the slope
$(O, I, J)$ is an orthonormal coordinate system.
The triangle $ABC$ is right-angled at $C$.
$$$\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{CB}{CA} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = m$$$
so the slope $m$ of the line determines the steepness of the line.
If $m > 0$ then the line "goes up".
If $m < 0$ then the line "goes down".
If $m = 0$ then the line is parallel to $(Ox)$.
Property 5: The lines $(d) : y = mx + p \text{ and } (d') : y = m'x + p'$ are parallel if and only if $\color{red}{m = m'}$.
Proof:
If $(d) : y = mx + p \text{ and } (d') : y = m'x + p' \text{ then } \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \text{ is a direction vector of } (d) \text{ and } \vec{u}'\begin{pmatrix} 1 \\ m' \end{pmatrix} \text{ is a direction vector of } (d')$.
$(d) \parallel (d') \iff \vec{u} \text{ and } \vec{u}' \text{ are collinear } \iff x_{\vec{u}} \times y_{\vec{u}'} - y_{\vec{u}} \times x_{\vec{u}'} = 0 \iff 1 \times m' - m \times 1 = 0 \iff m = m'$.
Rectas del plano
I - Vector director de una recta
Definición 1: Sean $A$ y $B$ dos puntos distintos de una recta $(d)$.
Llamamos vector director de la recta $(d)$ a todo vector colineal al vector $\color{red}{\overrightarrow{AB}}$.
Método: Trazar una recta dada por un punto y un vector director
En un sistema de coordenadas $(O, I, J)$, construir la recta $(d)$ que pasa por el punto $A(1 ; 2)$, con vector director $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.
- Ubicamos $A$.
- Trazamos $\vec{u}$ desde el origen $A$.
- Trazamos $(d)$ pasando por $A$ y dirigida por $\vec{u}$.
II - Ecuación cartesiana de una recta
Propiedad 1: Toda recta $(d)$ del plano admite una ecuación de la forma $\color{red}{ax + by + c = 0}$ con $a, b, c \in \mathbb{R}$ y $\color{red}{(a, b) \neq (0, 0)}$.
Esta ecuación se llama ecuación cartesiana de la recta $(d)$.
Demostración:
Sea $(d)$ una recta que pasa por un punto $A(x_A ; y_A)$ y de vector director $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$.
$$$M(x ; y) \in (d) \iff \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix} \text{ y } \vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \text{ son colineales}$$$
$$$\iff x_{\overrightarrow{AM}} \times y_{\vec{u}} - y_{\overrightarrow{AM}} \times x_{\vec{u}} = 0 \iff (x - x_A) \times \beta - (y - y_A) \times \alpha = 0$$$
$$$\iff \beta x - \beta x_A - \alpha y + \alpha y_A = 0 \iff \beta x - \alpha y - \beta x_A + \alpha y_A = 0$$$
$$$\iff ax + by + c = 0 \text{ con } a = \beta, b = -\alpha \text{ y } c = -\beta x_A + \alpha y_A.$$$
Método: Determinar la ecuación cartesiana de una recta que pasa por 2 puntos
Determinar una ecuación cartesiana de la recta $(AB)$ con $A(-1 ; 4)$ y $B(3 ; 2)$.
Calculamos las coordenadas de $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ de donde $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$.
Sea $M(x ; y)$, calculamos las coordenadas de $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix}$ de donde $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 4 \end{pmatrix}$.
$$$M(x ; y) \in (AB) \iff \overrightarrow{AM} \text{ y } \overrightarrow{AB} \text{ son colineales}$$$
$$$\iff x_{\overrightarrow{AM}} \times y_{\overrightarrow{AB}} - y_{\overrightarrow{AM}} \times x_{\overrightarrow{AB}} = 0 \iff (x + 1) \times (-2) - (y - 4) \times 4 = 0$$$
$$$\iff -2x - 2 - 4y + 16 = 0 \iff -2x - 4y + 14 = 0 \iff -x - 2y + 7 = 0.$$$
Una ecuación cartesiana de la recta $(AB)$ es $-x - 2y + 7 = 0$.
Caso particular:
- La ecuación del eje de abscisas $(Ox)$ es $y = 0$.
- La ecuación del eje de ordenadas $(Oy)$ es $x = 0$.
Propiedad 2: El vector $\color{red}{\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}}$ es un vector director de la recta $(d) : \color{red}{ax + by + c = 0} \text{ con } \color{red}{(a, b) \neq (0, 0)}$.
Demostración:
Para acortar la demostración, nos limitamos al caso donde $a \neq 0$ y $b \neq 0$.
Los puntos $A\left(0 ; \dfrac{-c}{b}\right)$ y $B\left(\dfrac{-c}{a} ; 0\right)$ pertenecen a la recta $(d) : ax + by + c = 0$.
De donde $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} \dfrac{-c}{a} \\ \dfrac{c}{b} \end{pmatrix}$ es un vector director de $(d)$. (atención al signo de la ordenada de B)
$$$x_{\vec{u}} \times y_{\overrightarrow{AB}} - y_{\vec{u}} \times x_{\overrightarrow{AB}} = -b \times \left(\dfrac{c}{b}\right) - a \times \left(\dfrac{-c}{a}\right) = -c + c = 0 \text{ por lo tanto } \vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \text{ y } \overrightarrow{AB} \text{ son colineales.}$$$
Por lo tanto $\vec{u}$ es un vector director de $(d)$.
III - Ecuación reducida de una recta (Ecuación explícita)
Propiedad 3:
- Toda recta no paralela al eje de ordenadas admite una ecuación reducida de la forma $\color{red}{y = mx + p}$ con $\color{red}{m, p \in \mathbb{R}}$.
- Toda recta paralela al eje de ordenadas admite una ecuación de la forma $\color{red}{x = k}$ con $\color{red}{k \in \mathbb{R}}$.
Demostración:
En un sistema de coordenadas $(O, I, J)$, toda recta $(d)$ tiene una ecuación cartesiana de la forma $ax + by + c = 0$ con $a, b, c \in \mathbb{R}, (a, b) \neq (0, 0)$. $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ es un vector director de $(d)$.
El vector $\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ es un vector director del eje de ordenadas.
$$$(d) \parallel (Oy) \iff \vec{j} \text{ y } \vec{u} \text{ colineales } \iff x_{\vec{j}} \times y_{\vec{u}} - y_{\vec{j}} \times x_{\vec{u}} = 0 \iff 0 \times a - 1 \times (-b) = 0 \iff b = 0.$$$
Si $b \neq 0$ entonces $\vec{j}$ y $\vec{u}$ no son colineales por lo que $(d)$ no es paralela al eje de ordenadas y $ax + by + c = 0 \iff by = -ax - c \iff y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} \text{ por lo tanto } y = mx + p \text{ con } m = -\dfrac{a}{b} \text{ y } p = -\dfrac{c}{b}$.
Si $b = 0$ entonces $\vec{j}$ y $\vec{u}$ son colineales por lo que $(d)$ es paralela al eje de ordenadas y $ax + 0y + c = 0 \iff ax = -c \iff x = -\dfrac{c}{a} \text{ por lo tanto } x = k \text{ con } k = -\dfrac{c}{a}$.
Vocabulario:
- El número real $m$ se llama la pendiente de la recta.
- El número real $p$ se llama la ordenada al origen; es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas.
Propiedad 4: Sean $A(x_A ; y_A)$ y $B(x_B ; y_B)$ dos puntos del plano tales que $\color{red}{x_A \neq x_B}$.
- La pendiente de la recta $(AB)$ es $\color{red}{m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}}$.
- Un vector director de $(AB)$ es $\color{red}{\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}}$.
Demostración:
Si $x_A \neq x_B$ entonces la recta $(AB)$ no es paralela al eje de ordenadas por lo que admite una ecuación reducida de la forma $y = mx + p$ con $m, p \in \mathbb{R}$.
$$$A \in (AB) \iff y_A = mx_A + p \text{ y } B \in (AB) \iff y_B = mx_B + p$$$
$$de donde $p = y_A - mx_A = y_B - mx_B \iff mx_B - mx_A = y_B - y_A \iff m(x_B - x_A) = y_B - y_A$$$
$$pero $x_A \neq x_B \text{ por lo tanto } m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.$$
$$$y = mx + p \iff mx - y + p = 0 \text{ por lo tanto } \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \text{ es un vector director de } (AB)$.$$
Interpretación gráfica de la pendiente
$(O, I, J)$ es un sistema ortonormal.
El triángulo $ABC$ es rectángulo en $C$.
$$$\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{CB}{CA} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = m$$$
por lo tanto la pendiente $m$ de la recta determina la inclinación de la recta.
Si $m > 0$ entonces la recta "sube".
Si $m < 0$ entonces la recta "baja".
Si $m = 0$ entonces la recta es paralela a $(Ox)$.
Propiedad 5: Las rectas $(d) : y = mx + p \text{ y } (d') : y = m'x + p'$ son paralelas si y solo si $\color{red}{m = m'}$.
Demostración:
Si $(d) : y = mx + p \text{ y } (d') : y = m'x + p' \text{ entonces } \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \text{ es un vector director de } (d) \text{ y } \vec{u}'\begin{pmatrix} 1 \\ m' \end{pmatrix} \text{ es un vector director de } (d')$.
$(d) \parallel (d') \iff \vec{u} \text{ y } \vec{u}' \text{ son colineales } \iff x_{\vec{u}} \times y_{\vec{u}'} - y_{\vec{u}} \times x_{\vec{u}'} = 0 \iff 1 \times m' - m \times 1 = 0 \iff m = m'$.