Transformations du plan
I - La translation
Définition 1 : Soit $A$ et $B$ deux points donnés du plan. La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ associe à tout point $M$ le point $\color{red}{M'}$ tel que $\color{red}{\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}}$.
Méthode : Construction de l'image d'un point par une translation
Soit $A, B$ et $M$ trois points donnés du plan. On appelle $M'$ l'image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
D'après la définition $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$ donc il suffit de construire le parallélogramme $ABM'M$.
Si le point $M$ est sur la droite $(AB)$ alors le parallélogramme $ABM'M$ est aplati.
II - L'homothétie
Définition 2 : Soit $O$ un point du plan et $k$ un réel donnés. L'homothétie de centre O et de rapport $k$ associe à tout point $\color{red}{M}$ le point $\color{red}{M'}$ tel que $\color{red}{\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}}$.
Méthode : Construction de l'image d'un point par une homothétie
Soit $O$ un point du plan et $k$ un réel donnés. On appelle $M'$ l'image de $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$. D'après la définition $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$.
k = 2
k = -1,5
III - La symétrie centrale
Définition 3 : Soit $O$ un point donné du plan. La symétrie de centre O associe à tout point $\color{red}{M}$ le point $\color{red}{M'}$ tel que $\color{red}{\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{MO}}$.
Remarques :
- L'égalité $\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{MO}$ signifie que le point $O$ est le milieu du segment $[MM']$.
- La symétrie centrale est une homothétie de rapport $-1$. En effet, $\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{MO} \iff \overrightarrow{OM'} = -1 \times \overrightarrow{OM}$.
IV - Coordonnées et transformations
Coordonnées de l'image d'un point par une translation
Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ un vecteur et $M(x ; y)$ un point donnés dans un repère $(O, I, J)$.
Soit $M'(x' ; y')$ l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ alors $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$
$$\begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x' - x = a \\ y' - y = b \end{cases} \iff \begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}$$
Propriété 1 : Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ un vecteur et $k$ un réel donnés dans un repère $(O, I, J)$ du plan.
Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $\color{red}{\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}}$.
Coordonnées de l'image d'un point par une homothétie
Soit $\Omega(a ; b)$ un point et $M(x ; y)$ des points donnés dans un repère $(O, I, J)$, et $k$ un réel donné.
Soit $M'(x' ; y')$ l'image de $M$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ alors $\overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M}$
$$\begin{pmatrix} x' - a \\ y' - b \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x' - a = k(x - a) \\ y' - b = k(y - b) \end{cases} \iff \begin{cases} x' = kx + a(1 - k) \\ y' = ky + b(1 - k) \end{cases}$$
Plane transformations
I - Translation
Definition 1: Let $A$ and $B$ be two given points in the plane. The translation by vector $\overrightarrow{AB}$ associates to any point $M$ the point $\color{red}{M'}$ such that $\color{red}{\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}}$.
Method: Construction of the image of a point by a translation
Let $A, B$ and $M$ be three given points in the plane. We call $M'$ the image of $M$ by the translation by vector $\overrightarrow{AB}$.
According to the definition $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$ so it is sufficient to construct the parallelogram $ABM'M$.
If the point $M$ is on the line $(AB)$ then the parallelogram $ABM'M$ is flat.
II - Homothety (Dilation)
Definition 2: Let $O$ be a point in the plane and $k$ a real number. The homothety of center O and ratio $k$ associates to any point $\color{red}{M}$ the point $\color{red}{M'}$ such that $\color{red}{\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}}$.
Method: Construction of the image of a point by a homothety
Let $O$ be a point in the plane and $k$ a real number. We call $M'$ the image of $M$ by the homothety of center $O$ and ratio $k$. According to the definition $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$.
k = 2
k = -1,5
III - Central symmetry (Point reflection)
Definition 3: Let $O$ be a given point in the plane. The central symmetry of center O associates to any point $\color{red}{M}$ the point $\color{red}{M'}$ such that $\color{red}{\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{MO}}$.
Notes:
- The equality $\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{MO}$ means that the point $O$ is the midpoint of the segment $[MM']$.
- Central symmetry is a homothety of ratio $-1$. Indeed, $\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{MO} \iff \overrightarrow{OM'} = -1 \times \overrightarrow{OM}$.
IV - Coordinates and transformations
Coordinates of the image of a point by a translation
Let $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ be a vector and $M(x ; y)$ a given point in a coordinate system $(O, I, J)$.
Let $M'(x' ; y')$ be the image of $M$ by the translation by vector $\vec{u}$ then $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$
$$\begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x' - x = a \\ y' - y = b \end{cases} \iff \begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}$$
Property 1: Let $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ be a vector and $k$ a given real number in a coordinate system $(O, I, J)$ of the plane.
The vector $k\vec{u}$ has coordinates $\color{red}{\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}}$.
Coordinates of the image of a point by a homothety
Let $\Omega(a ; b)$ be a point and $M(x ; y)$ given points in a coordinate system $(O, I, J)$, and $k$ a given real number.
Let $M'(x' ; y')$ be the image of $M$ by the homothety of center $\Omega$ and ratio $k$ then $\overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M}$
$$\begin{pmatrix} x' - a \\ y' - b \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x' - a = k(x - a) \\ y' - b = k(y - b) \end{cases} \iff \begin{cases} x' = kx + a(1 - k) \\ y' = ky + b(1 - k) \end{cases}$$
Transformaciones del plano
I - La traslación
Definición 1: Sean $A$ y $B$ dos puntos dados del plano. La traslación de vector $\overrightarrow{AB}$ asocia a todo punto $M$ el punto $\color{red}{M'}$ tal que $\color{red}{\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}}$.
Método: Construcción de la imagen de un punto por una traslación
Sean $A, B$ y $M$ tres puntos dados del plano. Llamamos $M'$ a la imagen de $M$ por la traslación de vector $\overrightarrow{AB}$.
Según la definición $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$ por lo que basta con construir el paralelogramo $ABM'M$.
Si el punto $M$ está en la recta $(AB)$ entonces el paralelogramo $ABM'M$ está aplanado.
II - La homotecia
Definición 2: Sean $O$ un punto del plano y $k$ un número real dados. La homotecia de centro O y de razón $k$ asocia a todo punto $\color{red}{M}$ el punto $\color{red}{M'}$ tal que $\color{red}{\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}}$.
Método: Construcción de la imagen de un punto por una homotecia
Sean $O$ un punto del plano y $k$ un número real dados. Llamamos $M'$ a la imagen de $M$ por la homotecia de centro $O$ y razón $k$. Según la definición $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$.
k = 2
k = -1,5
III - La simetría central
Definición 3: Sea $O$ un punto dado del plano. La simetría de centro O asocia a todo punto $\color{red}{M}$ el punto $\color{red}{M'}$ tal que $\color{red}{\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{MO}}$.
Notas:
- La igualdad $\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{MO}$ significa que el punto $O$ es el punto medio del segmento $[MM']$.
- La simetría central es una homotecia de razón $-1$. En efecto, $\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{MO} \iff \overrightarrow{OM'} = -1 \times \overrightarrow{OM}$.
IV - Coordenadas y transformaciones
Coordenadas de la imagen de un punto por una traslación
Sean $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ un vector y $M(x ; y)$ un punto dados en un sistema de coordenadas $(O, I, J)$.
Sea $M'(x' ; y')$ la imagen de $M$ por la traslación de vector $\vec{u}$ entonces $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$
$$\begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x' - x = a \\ y' - y = b \end{cases} \iff \begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}$$
Propiedad 1: Sea $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ un vector y $k$ un número real dados en un sistema de coordenadas $(O, I, J)$ del plano.
El vector $k\vec{u}$ tiene como coordenadas $\color{red}{\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}}$.
Coordenadas de la imagen de un punto por una homotecia
Sean $\Omega(a ; b)$ un punto y $M(x ; y)$ puntos dados en un sistema de coordenadas $(O, I, J)$, y $k$ un número real dado.
Sea $M'(x' ; y')$ la imagen de $M$ por la homotecia de centro $\Omega$ y de razón $k$ entonces $\overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M}$
$$\begin{pmatrix} x' - a \\ y' - b \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x' - a = k(x - a) \\ y' - b = k(y - b) \end{cases} \iff \begin{cases} x' = kx + a(1 - k) \\ y' = ky + b(1 - k) \end{cases}$$