Calcul vectoriel
I - Multiplication d'un vecteur par un réel
Définition 2 : Soit $\overrightarrow{AB}$ un vecteur et $k$ un réel (différent de zéro).
Le vecteur $k\overrightarrow{AB}$ a :
- la direction $(AB)$
- le sens de $A$ vers $B$ si $k > 0$ et le sens de $B$ vers $A$ si $k < 0$
- la longueur $kAB$ si $k > 0$ et $-kAB$ si $k < 0$
Méthode : Construction du vecteur $k\overrightarrow{AB}$
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ étant donné, on trace les vecteurs $-2\overrightarrow{AB}$ et $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
II - Vecteurs colinéaires
Définition 6 : On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $\color{red}{\vec{v} = k\vec{u}}$.
Remarque : Deux vecteurs colinéaires ont la même direction.
Propriété 6 : Soient $A, B, C$ et $D$ des points distincts du plan.
$\color{red}{(AB) \parallel (CD)}$ si et seulement si $\color{red}{\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{CD}}$ sont colinéaires.
Cas particulier : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires si et seulement si les points $A, B$ et $C$ sont alignés.
Propriété 7 : Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs donnés dans un repère $(O, I, J)$ du plan.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\color{red}{xy' = x'y}$.
Démonstration :
Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs donnés dans un repère $(O, I, J)$ du plan ($x \neq 0, y \neq 0$).
- Si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires alors $\begin{cases} x' = kx \\ y' = ky \end{cases} \iff \begin{cases} k = \dfrac{x'}{x} \\ k = \dfrac{y'}{y} \end{cases}$ donc $\dfrac{x'}{x} = \dfrac{y'}{y}$ donc $x'y = xy'$.
- Si $x'y = xy'$ alors $\dfrac{x'}{x} = \dfrac{y'}{y}$ donc il existe un réel $k$ tel que : $\begin{cases} k = \dfrac{x'}{x} \\ k = \dfrac{y'}{y} \end{cases} \iff \begin{cases} x' = kx \\ y' = ky \end{cases} \iff \vec{v} = k\vec{u}$.
III - Addition de 2 vecteurs
Définition 7 : Soit $A, B, C$ trois points quelconques, $\color{red}{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}}$.
Méthode : Construction du vecteur somme
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont deux vecteurs donnés.
On construit $B'$ tel que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BB'}$.
On applique la relation de Chasles :
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AB'}$
Propriété 8 : Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs donnés dans un repère $(O, I, J)$ du plan.
Le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $\color{red}{\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}}$.
Le vecteur $-\vec{u}$ a pour coordonnées $\color{red}{\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}}$.
Définition 8 : Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est appelé opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$. On note : $\color{red}{\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}}$.
(il a même direction, même longueur mais le sens contraire.)
Remarque : On retrouve une relation déjà connue pour les nombres réels : $\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$
Si on ajoute un vecteur et son opposé, on obtient le vecteur nul.
Définition 9 : Soustraire un vecteur revient à additionner son opposé : $\color{red}{\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})}$.
Application :
Soient $A, B, C$ et $D$ quatre points du plan. Simplifier l'expression vectorielle suivante :
$\color{blue}{\vec{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}}$
On transforme les soustractions en additions de l'opposé, puis on réorganise les termes pour utiliser la relation de Chasles :
$$\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD}$$
$$\vec{u} = (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC})$$
$$\vec{u} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC}$$
$$\vec{u} = \overrightarrow{CC}$$
$$\vec{u} = \overrightarrow{0}$$
Vector calculation
I - Multiplication of a vector by a real number
Definition 2: Let $\overrightarrow{AB}$ be a vector and $k$ a real number (different from zero).
The vector $k\overrightarrow{AB}$ has:
- the direction $(AB)$
- the sense from $A$ to $B$ if $k > 0$ and the sense from $B$ to $A$ if $k < 0$
- the length $kAB$ if $k > 0$ and $-kAB$ if $k < 0$
Method: Construction of the vector $k\overrightarrow{AB}$
Given the vector $\overrightarrow{AB}$, we draw the vectors $-2\overrightarrow{AB}$ and $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
II - Collinear vectors
Definition 6: Two vectors $\vec{u}$ and $\vec{v}$ are said to be collinear when there exists a real number $k$ such that $\color{red}{\vec{v} = k\vec{u}}$.
Note: Two collinear vectors have the same direction.
Property 6: Let $A, B, C$ and $D$ be distinct points in the plane.
$\color{red}{(AB) \parallel (CD)}$ if and only if $\color{red}{\overrightarrow{AB} \text{ and } \overrightarrow{CD}}$ are collinear.
Special case: $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$ are collinear if and only if the points $A, B$ and $C$ are aligned.
Property 7: Let $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ and $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ be two given vectors in a coordinate system $(O, I, J)$ of the plane.
The vectors $\vec{u}$ and $\vec{v}$ are collinear if and only if $\color{red}{xy' = x'y}$.
Proof:
Let $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ and $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ be two given vectors in a coordinate system $(O, I, J)$ of the plane ($x \neq 0, y \neq 0$).
- If the vectors $\vec{u}$ and $\vec{v}$ are collinear then $\begin{cases} x' = kx \\ y' = ky \end{cases} \iff \begin{cases} k = \dfrac{x'}{x} \\ k = \dfrac{y'}{y} \end{cases}$ so $\dfrac{x'}{x} = \dfrac{y'}{y}$ so $x'y = xy'$.
- If $x'y = xy'$ then $\dfrac{x'}{x} = \dfrac{y'}{y}$ so there exists a real number $k$ such that: $\begin{cases} k = \dfrac{x'}{x} \\ k = \dfrac{y'}{y} \end{cases} \iff \begin{cases} x' = kx \\ y' = ky \end{cases} \iff \vec{v} = k\vec{u}$.
III - Addition of 2 vectors
Definition 7: Let $A, B, C$ be three any points, $\color{red}{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}}$.
Method: Construction of the sum vector
$\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{CD}$ are two given vectors.
We construct $B'$ such that $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BB'}$.
We apply Chasles's relation:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AB'}$
Property 8: Let $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ and $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ be two given vectors in a coordinate system $(O, I, J)$ of the plane.
The vector $\vec{u} + \vec{v}$ has coordinates $\color{red}{\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}}$.
The vector $-\vec{u}$ has coordinates $\color{red}{\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}}$.
Definition 8: The vector $\overrightarrow{BA}$ is called the opposite of the vector $\overrightarrow{AB}$. We write: $\color{red}{\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}}$.
(it has the same direction, same length but opposite sense.)
Note: We find a relation already known for real numbers: $\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$
If we add a vector and its opposite, we obtain the zero vector.
Definition 9: Subtracting a vector is equivalent to adding its opposite: $\color{red}{\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})}$.
Application:
Let $A, B, C$ and $D$ be four points in the plane. Simplify the following vector expression:
$\color{blue}{\vec{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}}$
We transform the subtractions into additions of the opposite, then we reorganize the terms to use Chasles's relation:
$$\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD}$$
$$\vec{u} = (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC})$$
$$\vec{u} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC}$$
$$\vec{u} = \overrightarrow{CC}$$
$$\vec{u} = \overrightarrow{0}$$
Cálculo vectorial
I - Multiplicación de un vector por un número real
Definición 2: Sea $\overrightarrow{AB}$ un vector y $k$ un número real (distinto de cero).
El vector $k\overrightarrow{AB}$ tiene:
- la dirección de $(AB)$
- el sentido de $A$ hacia $B$ si $k > 0$ y el sentido de $B$ hacia $A$ si $k < 0$
- la longitud $kAB$ si $k > 0$ y $-kAB$ si $k < 0$
Método: Construcción del vector $k\overrightarrow{AB}$
Dado el vector $\overrightarrow{AB}$, trazamos los vectores $-2\overrightarrow{AB}$ y $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
II - Vectores colineales
Definición 6: Se dice que dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son colineales cuando existe un número real $k$ tal que $\color{red}{\vec{v} = k\vec{u}}$.
Nota: Dos vectores colineales tienen la misma dirección.
Propiedad 6: Sean $A, B, C$ y $D$ puntos distintos del plano.
$\color{red}{(AB) \parallel (CD)}$ si y solo si $\color{red}{\overrightarrow{AB} \text{ y } \overrightarrow{CD}}$ son colineales.
Caso particular: $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ son colineales si y solo si los puntos $A, B$ y $C$ están alineados.
Propiedad 7: Sean $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ y $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ dos vectores dados en un sistema de coordenadas $(O, I, J)$ del plano.
Los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son colineales si y solo si $\color{red}{xy' = x'y}$.
Demostración:
Sean $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ y $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ dos vectores dados en un sistema de coordenadas $(O, I, J)$ del plano ($x \neq 0, y \neq 0$).
- Si los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son colineales entonces $\begin{cases} x' = kx \\ y' = ky \end{cases} \iff \begin{cases} k = \dfrac{x'}{x} \\ k = \dfrac{y'}{y} \end{cases}$ por lo tanto $\dfrac{x'}{x} = \dfrac{y'}{y}$ por lo tanto $x'y = xy'$.
- Si $x'y = xy'$ entonces $\dfrac{x'}{x} = \dfrac{y'}{y}$ por lo tanto existe un número real $k$ tal que: $\begin{cases} k = \dfrac{x'}{x} \\ k = \dfrac{y'}{y} \end{cases} \iff \begin{cases} x' = kx \\ y' = ky \end{cases} \iff \vec{v} = k\vec{u}$.
III - Suma de 2 vectores
Definición 7: Sean $A, B, C$ tres puntos cualesquiera, $\color{red}{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}}$.
Método: Construcción del vector suma
$\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{CD}$ son dos vectores dados.
Construimos $B'$ tal que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BB'}$.
Aplicamos la relación de Chasles:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AB'}$
Propiedad 8: Sean $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ y $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ dos vectores dados en un sistema de coordenadas $(O, I, J)$ del plano.
El vector $\vec{u} + \vec{v}$ tiene como coordenadas $\color{red}{\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}}$.
El vector $-\vec{u}$ tiene como coordenadas $\color{red}{\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}}$.
Definición 8: El vector $\overrightarrow{BA}$ se llama opuesto del vector $\overrightarrow{AB}$. Denotamos: $\color{red}{\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}}$.
(tiene la misma dirección, misma longitud pero sentido contrario.)
Nota: Encontramos una relación ya conocida para los números reales: $\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$
Si sumamos un vector y su opuesto, obtenemos el vector nulo.
Definición 9: Restar un vector equivale a sumar su opuesto: $\color{red}{\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})}$.
Aplicación:
Sean $A, B, C$ y $D$ cuatro puntos del plano. Simplificar la siguiente expresión vectorial:
$\color{blue}{\vec{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}}$
Transformamos las restas en sumas del opuesto, luego reorganizamos los términos para usar la relación de Chasles:
$$\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD}$$
$$\vec{u} = (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC})$$
$$\vec{u} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC}$$
$$\vec{u} = \overrightarrow{CC}$$
$$\vec{u} = \overrightarrow{0}$$