Généralités sur les vecteurs
I - Représentation d'un vecteur
Propriété 1 :
$$$ABCD$ est un parallélogramme équivaut à $\begin{cases} ABCD \text{ est non croisé} \\ AB = CD \\ (AB) \parallel (CD) \end{cases}$$$
On regroupe les informations citées dans la propriété 1 dans un nouvel objet mathématique : le vecteur.
Définition 1 : Le vecteur $\color{red}{\overrightarrow{AB}}$ est défini par :
- sa direction, la droite $(AB)$.
- son sens, de $A$ vers $B$.
- sa longueur, la distance $AB$.
Représentations du vecteur $\overrightarrow{AB}$
$A$ et $B$ sont 2 points donnés du plan.
On représente le vecteur $\overrightarrow{AB}$ par une flèche allant de $A$ à $B$.
Toute flèche parallèle à la droite $(AB)$, de longueur $AB$, dans le sens de $A$ vers $B$ représente le vecteur $\overrightarrow{AB}$.
$\color{red}{\overrightarrow{AB} = \vec{u} = \vec{v}}$
Propriété 2 : $\color{red}{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}}$ équivaut à $\color{red}{ABDC}$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Méthode : Construire un vecteur égal à un vecteur donné
Soit $A$ un point et $\vec{u}$ un vecteur donnés. On appelle $M$ l'origine du vecteur $\vec{u}$ représenté et $N$ son extrémité. Pour construire le point $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$, on trace le parallélogramme $MNBA$.
$A, M \text{ et } N \text{ ne sont pas alignés}$
$A, M \text{ et } N \text{ sont alignés}$
II - Coordonnées d'un vecteur
Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$
Les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ représentent le chemin qui relie l'origine $A$ du vecteur à son extrémité $B$ en suivant la direction $(Ox)$ puis la direction $(Oy)$.
Dans le repère $(O, I, J)$ ci-contre, on parcourt :
- $x_B - x_A$ en suivant la direction $(Ox)$,
- $y_B - y_A$ en suivant la direction $(Oy)$.
Propriété 3 : Soit $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points donnés dans un repère $(O, I, J)$ du plan.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\color{red}{\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}}$.
Le vecteur nul $\overrightarrow{AA}$ (qu'on note aussi $\overrightarrow{0}$) a pour coordonnées $\color{red}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$.
Propriété 4 : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.
$\color{red}{\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \iff x = x' \text{ et } y = y'}$
Generalities on vectors
I - Representation of a vector
Property 1:
$$$ABCD$ is a parallelogram is equivalent to $\begin{cases} ABCD \text{ is not crossed} \\ AB = CD \\ (AB) \parallel (CD) \end{cases}$$$
We group the information cited in property 1 into a new mathematical object: the vector.
Definition 1: The vector $\color{red}{\overrightarrow{AB}}$ is defined by:
- its direction, the line $(AB)$.
- its sense, from $A$ to $B$.
- its length, the distance $AB$.
Representations of the vector $\overrightarrow{AB}$
$A$ and $B$ are 2 given points in the plane.
We represent the vector $\overrightarrow{AB}$ by an arrow going from $A$ to $B$.
Any arrow parallel to the line $(AB)$, of length $AB$, in the direction from $A$ to $B$ represents the vector $\overrightarrow{AB}$.
$\color{red}{\overrightarrow{AB} = \vec{u} = \vec{v}}$
Property 2: $\color{red}{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}}$ is equivalent to $\color{red}{ABDC}$ is a parallelogram (possibly flat).
Method: Construct a vector equal to a given vector
Let $A$ be a given point and $\vec{u}$ a given vector. We call $M$ the origin of the represented vector $\vec{u}$ and $N$ its endpoint. To construct the point $B$ such that $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$, we draw the parallelogram $MNBA$.
$A, M \text{ and } N \text{ are not aligned}$
$A, M \text{ and } N \text{ are aligned}$
II - Coordinates of a vector
Coordinates of the vector $\overrightarrow{AB}$
The coordinates of a vector $\overrightarrow{AB}$ represent the path that connects the origin $A$ of the vector to its endpoint $B$ following the direction $(Ox)$ then the direction $(Oy)$.
In the coordinate system $(O, I, J)$ opposite, we travel:
- $x_B - x_A$ following the direction $(Ox)$,
- $y_B - y_A$ following the direction $(Oy)$.
Property 3: Let $A(x_A ; y_A)$ and $B(x_B ; y_B)$ be two given points in a coordinate system $(O, I, J)$ of the plane.
The vector $\overrightarrow{AB}$ has coordinates $\color{red}{\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}}$.
The zero vector $\overrightarrow{AA}$ (also denoted $\overrightarrow{0}$) has coordinates $\color{red}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$.
Property 4: Two vectors are equal if and only if their coordinates are equal.
$\color{red}{\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \iff x = x' \text{ and } y = y'}$
Generalidades sobre los vectores
I - Representación de un vector
Propiedad 1:
$$$ABCD$ es un paralelogramo equivale a $\begin{cases} ABCD \text{ no está cruzado} \\ AB = CD \\ (AB) \parallel (CD) \end{cases}$$$
Agrupamos la información citada en la propiedad 1 en un nuevo objeto matemático: el vector.
Definición 1: El vector $\color{red}{\overrightarrow{AB}}$ se define por:
- su dirección, la recta $(AB)$.
- su sentido, de $A$ hacia $B$.
- su longitud, la distancia $AB$.
Representaciones del vector $\overrightarrow{AB}$
$A$ y $B$ son 2 puntos dados del plano.
Representamos el vector $\overrightarrow{AB}$ por una flecha que va de $A$ a $B$.
Cualquier flecha paralela a la recta $(AB)$, de longitud $AB$, en el sentido de $A$ hacia $B$ representa al vector $\overrightarrow{AB}$.
$\color{red}{\overrightarrow{AB} = \vec{u} = \vec{v}}$
Propiedad 2: $\color{red}{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}}$ equivale a $\color{red}{ABDC}$ es un paralelogramo (posiblemente aplanado).
Método: Construir un vector igual a un vector dado
Sea $A$ un punto y $\vec{u}$ un vector dados. Llamamos $M$ al origen del vector representado $\vec{u}$ y $N$ a su extremo. Para construir el punto $B$ tal que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$, trazamos el paralelogramo $MNBA$.
$A, M \text{ y } N \text{ no están alineados}$
$A, M \text{ y } N \text{ están alineados}$
II - Coordenadas de un vector
Coordenadas del vector $\overrightarrow{AB}$
Las coordenadas de un vector $\overrightarrow{AB}$ representan el camino que une el origen $A$ del vector con su extremo $B$ siguiendo la dirección $(Ox)$ luego la dirección $(Oy)$.
En el sistema de coordenadas $(O, I, J)$ de al lado, recorremos:
- $x_B - x_A$ siguiendo la dirección $(Ox)$,
- $y_B - y_A$ siguiendo la dirección $(Oy)$.
Propiedad 3: Sean $A(x_A ; y_A)$ y $B(x_B ; y_B)$ dos puntos dados en un sistema de coordenadas $(O, I, J)$ del plano.
El vector $\overrightarrow{AB}$ tiene por coordenadas $\color{red}{\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}}$.
El vector nulo $\overrightarrow{AA}$ (que también se denota $\overrightarrow{0}$) tiene por coordenadas $\color{red}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$.
Propiedad 4: Dos vectores son iguales si y solo si sus coordenadas son iguales.
$\color{red}{\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \iff x = x' \text{ y } y = y'}$