Coordonnées et distance
I - Repère orthonormé du plan
Définition 1 : On appelle repère orthonormé du plan un triplet de points $(O, I, J)$ formant un triangle rectangle isocèle de sommet principal $O$.
Vocabulaire : Le point $O$ est appelé l'origine du repère.
La droite $(OI)$ est appelée l'axe des abscisses et la distance $OI$ définit l'unité sur cet axe.
La droite $(OJ)$ est appelée l'axe des ordonnées et la distance $OJ$ définit l'unité sur cet axe.
Remarque : Ce repère est "ortho" (droit) parce que les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires.
Ce repère est "normé" parce que $OI = OJ$.
Dans le repère $(O, I, J)$ :
- $x_M$ s'appelle l'abscisse du point $M$.
- $y_M$ s'appelle l'ordonnée du point $M$.
- $(x_M ; y_M)$ s'appelle le couple de coordonnées du point $M$.
On note : $\color{red}{M(x_M ; y_M)}$
II - Distance entre 2 points dans un repère orthonormé
Propriété 1 : Soit $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points du plan muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$.
La distance entre les points $A$ et $B$ est :
$$ \color{red}{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}} $$
Explication de la propriété 1
Le repère $(O, I, J)$ est orthonormé donc $ABH$ est rectangle en $H$.
On applique la propriété de Pythagore :
$$AB^2 = AH^2 + HB^2$$
$$= (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$
$$\text{Donc } AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
Méthode : Calculer la distance entre 2 points
Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$, on donne : $C(-1 ; 2)$ et $D(3 ; -4)$.
Calculer la distance $CD$.
On applique la propriété 1 :
$$CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}$$
$$= \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-4 - 2)^2}$$
$$= \sqrt{52}$$
Si les points $C$ et $D$ ont été placés dans un repère orthonormé $(O, I, J)$ tel que $OI = OJ = 1$ cm, alors on peut vérifier la longueur $CD$ sur le graphique en mesurant ($CD \approx 7,2$ cm).
III - Coordonnées du milieu d'un segment dans un repère
Propriété 2 : Soit $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points du plan muni d'un repère $(O, I, J)$.
Le milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées :
$$ \color{red}{\left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)} $$
Explication de la propriété 2
$(KB)$ et $(LH)$ sont sécantes en $A$, et $(KL) \parallel (BH)$.
On suppose que $x_A \neq x_B$ et $y_A \neq y_B$.
On applique la propriété de Thalès :
$$\frac{AK}{AB} = \frac{AL}{AH} = \frac{KL}{BH}$$
$$\text{Or } K \text{ est le milieu de } [AB] \text{ donc } \frac{AK}{AB} = \frac{1}{2}$$
$$\text{Donc } \frac{1}{2} = \frac{x_K - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y_K - y_A}{y_B - y_A}$$
$$\frac{x_K - x_A}{x_B - x_A} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{y_K - y_A}{y_B - y_A} = \frac{1}{2}$$
$$\text{Avec un produit en croix, on obtient : } x_K - x_A = \frac{x_B - x_A}{2}$$
$$\text{d'où } x_K = \frac{x_B - x_A}{2} + x_A = \frac{x_B - x_A}{2} + \frac{2x_A}{2} = \frac{x_B + x_A}{2}$$
$$\text{De même, on obtient : } y_K = \frac{y_B + y_A}{2}$$
Remarque : Contrairement à la propriété 1 qui nécessite un repère orthonormé, la propriété 2 est vraie dans un repère quelconque.
Méthode : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère $(O, I, J)$, on donne : $C(-1 ; 2)$ et $D(3 ; -4)$.
Calculer les coordonnées du milieu $E$ du segment $[CD]$.
On applique la propriété 2 :
$$E\left(\frac{x_C + x_D}{2} ; \frac{y_C + y_D}{2}\right)$$
$$E\left(\frac{-1 + 3}{2} ; \frac{2 + (-4)}{2}\right)$$
$$E(1 ; -1)$$
Coordinates and distance
I - Orthonormal coordinate system of the plane
Definition 1: An orthonormal coordinate system of the plane is a triplet of points $(O, I, J)$ forming an isosceles right-angled triangle with principal vertex $O$.
Vocabulary: Point $O$ is called the origin of the coordinate system.
Line $(OI)$ is called the x-axis and distance $OI$ defines the unit on this axis.
Line $(OJ)$ is called the y-axis and distance $OJ$ defines the unit on this axis.
Note: This system is "ortho" (orthogonal/right) because lines $(OI)$ and $(OJ)$ are perpendicular.
It is "normal" because $OI = OJ$.
In the coordinate system $(O, I, J)$:
- $x_M$ is called the abscissa (x-coordinate) of point $M$.
- $y_M$ is called the ordinate (y-coordinate) of point $M$.
- $(x_M ; y_M)$ is called the coordinates pair of point $M$.
We write: $\color{red}{M(x_M ; y_M)}$
II - Distance between 2 points in an orthonormal coordinate system
Property 1: Let $A(x_A ; y_A)$ and $B(x_B ; y_B)$ be two points in a plane equipped with an orthonormal coordinate system $(O, I, J)$.
The distance between points $A$ and $B$ is:
$$ \color{red}{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}} $$
Explanation of property 1
The coordinate system $(O, I, J)$ is orthonormal so $ABH$ is a right-angled triangle at $H$.
We apply the Pythagorean theorem:
$$AB^2 = AH^2 + HB^2$$
$$= (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$
$$\text{Therefore } AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
Method: Calculate the distance between 2 points
In an orthonormal coordinate system $(O, I, J)$, we have: $C(-1 ; 2)$ and $D(3 ; -4)$.
Calculate the distance $CD$.
We apply property 1:
$$CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}$$
$$= \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-4 - 2)^2}$$
$$= \sqrt{52}$$
If points $C$ and $D$ were placed in an orthonormal coordinate system $(O, I, J)$ such that $OI = OJ = 1$ cm, then we can verify the length $CD$ on the graph by measuring ($CD \approx 7.2$ cm).
III - Coordinates of the midpoint of a segment in a coordinate system
Property 2: Let $A(x_A ; y_A)$ and $B(x_B ; y_B)$ be two points in a plane equipped with a coordinate system $(O, I, J)$.
The midpoint of the segment $[AB]$ has coordinates:
$$ \color{red}{\left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)} $$
Explanation of property 2
$(KB)$ and $(LH)$ intersect at $A$, and $(KL) \parallel (BH)$.
Assume $x_A \neq x_B$ and $y_A \neq y_B$.
We apply Thales's theorem:
$$\frac{AK}{AB} = \frac{AL}{AH} = \frac{KL}{BH}$$
$$\text{But } K \text{ is the midpoint of } [AB] \text{ so } \frac{AK}{AB} = \frac{1}{2}$$
$$\text{Therefore } \frac{1}{2} = \frac{x_K - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y_K - y_A}{y_B - y_A}$$
$$\frac{x_K - x_A}{x_B - x_A} = \frac{1}{2} \quad \text{and} \quad \frac{y_K - y_A}{y_B - y_A} = \frac{1}{2}$$
$$\text{With cross multiplication, we get: } x_K - x_A = \frac{x_B - x_A}{2}$$
$$\text{hence } x_K = \frac{x_B - x_A}{2} + x_A = \frac{x_B - x_A}{2} + \frac{2x_A}{2} = \frac{x_B + x_A}{2}$$
$$\text{Similarly, we get: } y_K = \frac{y_B + y_A}{2}$$
Note: Unlike property 1 which requires an orthonormal coordinate system, property 2 is true in any coordinate system.
Method: Calculate the coordinates of the midpoint of a segment
In a coordinate system $(O, I, J)$, we have: $C(-1 ; 2)$ and $D(3 ; -4)$.
Calculate the coordinates of the midpoint $E$ of the segment $[CD]$.
We apply property 2:
$$E\left(\frac{x_C + x_D}{2} ; \frac{y_C + y_D}{2}\right)$$
$$E\left(\frac{-1 + 3}{2} ; \frac{2 + (-4)}{2}\right)$$
$$E(1 ; -1)$$
Coordenadas y distancia
I - Sistema de coordenadas ortonormal del plano
Definición 1: Se llama sistema de coordenadas ortonormal del plano a un triplete de puntos $(O, I, J)$ que forman un triángulo rectángulo isósceles de vértice principal $O$.
Vocabulario: El punto $O$ se llama origen de coordenadas.
La recta $(OI)$ se llama eje de abscisas y la distancia $OI$ define la unidad en este eje.
La recta $(OJ)$ se llama eje de ordenadas y la distancia $OJ$ define la unidad en este eje.
Nota: Este sistema es "orto" (recto) porque las rectas $(OI)$ y $(OJ)$ son perpendiculares.
Es "normal" porque $OI = OJ$.
En el sistema de coordenadas $(O, I, J)$:
- $x_M$ se llama la abscisa del punto $M$.
- $y_M$ se llama la ordenada del punto $M$.
- $(x_M ; y_M)$ se llama el par de coordenadas del punto $M$.
Denotamos: $\color{red}{M(x_M ; y_M)}$
II - Distancia entre 2 puntos en un sistema de coordenadas ortonormal
Propiedad 1: Sean $A(x_A ; y_A)$ y $B(x_B ; y_B)$ dos puntos del plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormal $(O, I, J)$.
La distancia entre los puntos $A$ y $B$ es:
$$ \color{red}{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}} $$
Explicación de la propiedad 1
El sistema de coordenadas $(O, I, J)$ es ortonormal por lo que $ABH$ es un triángulo rectángulo en $H$.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
$$AB^2 = AH^2 + HB^2$$
$$= (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$
$$\text{Por lo tanto } AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
Método: Calcular la distancia entre 2 puntos
En un sistema de coordenadas ortonormal $(O, I, J)$, tenemos: $C(-1 ; 2)$ y $D(3 ; -4)$.
Calcular la distancia $CD$.
Aplicamos la propiedad 1:
$$CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}$$
$$= \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-4 - 2)^2}$$
$$= \sqrt{52}$$
Si los puntos $C$ y $D$ estuvieran ubicados en un sistema de coordenadas ortonormal $(O, I, J)$ tal que $OI = OJ = 1$ cm, entonces podemos verificar la longitud $CD$ en el gráfico midiendo ($CD \approx 7,2$ cm).
III - Coordenadas del punto medio de un segmento en un sistema de coordenadas
Propiedad 2: Sean $A(x_A ; y_A)$ y $B(x_B ; y_B)$ dos puntos del plano provisto de un sistema de coordenadas $(O, I, J)$.
El punto medio del segmento $[AB]$ tiene como coordenadas:
$$ \color{red}{\left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)} $$
Explicación de la propiedad 2
$(KB)$ y $(LH)$ son secantes en $A$, y $(KL) \parallel (BH)$.
Supongamos que $x_A \neq x_B$ y $y_A \neq y_B$.
Aplicamos el teorema de Tales:
$$\frac{AK}{AB} = \frac{AL}{AH} = \frac{KL}{BH}$$
$$\text{Pero } K \text{ es el punto medio de } [AB] \text{ por lo tanto } \frac{AK}{AB} = \frac{1}{2}$$
$$\text{Luego } \frac{1}{2} = \frac{x_K - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y_K - y_A}{y_B - y_A}$$
$$\frac{x_K - x_A}{x_B - x_A} = \frac{1}{2} \quad \text{y} \quad \frac{y_K - y_A}{y_B - y_A} = \frac{1}{2}$$
$$\text{Con un producto cruzado, obtenemos: } x_K - x_A = \frac{x_B - x_A}{2}$$
$$\text{de donde } x_K = \frac{x_B - x_A}{2} + x_A = \frac{x_B - x_A}{2} + \frac{2x_A}{2} = \frac{x_B + x_A}{2}$$
$$\text{De la misma manera, obtenemos: } y_K = \frac{y_B + y_A}{2}$$
Nota: A diferencia de la propiedad 1 que necesita un sistema ortonormal, la propiedad 2 es verdadera en cualquier sistema de coordenadas.
Método: Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento
En un sistema de coordenadas $(O, I, J)$, tenemos: $C(-1 ; 2)$ y $D(3 ; -4)$.
Calcular las coordenadas del punto medio $E$ del segmento $[CD]$.
Aplicamos la propiedad 2:
$$E\left(\frac{x_C + x_D}{2} ; \frac{y_C + y_D}{2}\right)$$
$$E\left(\frac{-1 + 3}{2} ; \frac{2 + (-4)}{2}\right)$$
$$E(1 ; -1)$$