Rappels et compléments en géométrie

I - Les droites

Propriété 1 : Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.

Propriété 2 : Si 2 droites sont parallèles et qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.

Définition 1 : On appelle médiatrice d'un segment la droite perpendiculaire au segment qui passe par le milieu du segment.

Définition 2 : On appelle bissectrice d'un angle une droite qui partage un angle en 2 angles égaux.

II - Les symétries

Définition 3 : On appelle symétrique du point $M$ par rapport à une droite $(d)$ le point $M'$ tel que $(d)$ est la médiatrice du segment $[MM']$.

Définition 4 : On appelle symétrique du point $M$ par rapport à un point $K$ le point $M'$ tel que $K$ est le milieu du segment $[MM']$.

III - Le parallélogramme

Définition 5 : On appelle parallélogramme un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Propriété 3 : Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors c'est un parallélogramme.

Propriété 4 : Si un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.

Propriété 5 : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.

Propriété 6 : Si un parallélogramme a des diagonales de la même longueur alors c'est un rectangle.

Propriété 7 : Si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle.

IV - Le triangle

Définition 6 : On appelle hauteur d'un triangle une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Définition 7 : Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriété 8 : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est appelé centre de gravité du triangle.

Propriété 9 : Si un triangle est isocèle alors la médiane, la hauteur et la bissectrice, passant par le sommet principal sont confondues avec la médiatrice de la base.

Propriété 10 : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.

Propriété 11 : La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à $180^\circ$.

Propriété 12 : Théorème de Thalès

Soit $A, B, C, M$ et $N$ des points distincts du plan.
Si $\begin{cases} (MB) \text{ et } (NC) \text{ sont sécantes en } A \\ \text{et } (MN) \parallel (BC) \end{cases}$ alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Propriété 13 : Réciproque de Thalès

Soit $A, B, C, M$ et $N$ des points distincts du plan.
Si $\begin{cases} A, B, M \text{ et } A, C, N \text{ sont alignés dans le même ordre} \\ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \end{cases}$ alors $(MN) \parallel (BC)$

V - Le triangle rectangle

Propriété 14 : Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés du triangle.

Propriété 15 : Réciproque de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Définition 8 : Soit $\hat{a}$ un angle au sommet aigu d'un triangle rectangle :

On appelle cosinus de l'angle $\hat{a}$, noté $\cos \hat{a}$, le rapport $\cos \hat{a} = \dfrac{\text{longueur du côté adjacent à } \hat{a}}{\text{longueur de l'hypoténuse}}$
On appelle sinus de l'angle $\hat{a}$, noté $\sin \hat{a}$, le rapport $\sin \hat{a} = \dfrac{\text{longueur du côté opposé à } \hat{a}}{\text{longueur de l'hypoténuse}}$
On appelle tangente de l'angle $\hat{a}$, noté $\tan \hat{a}$, le rapport $\tan \hat{a} = \dfrac{\text{longueur du côté opposé à } \hat{a}}{\text{longueur du côté adjacent à } \hat{a}}$

Propriété 16 : Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ : $(\cos \hat{B})^2 + (\sin \hat{B})^2 = 1$

VI - Distances et cercle

1 - Distances

Propriété 17 : Soit $A, B$ et $M$ trois points du plan.

$Si $M \notin [AB]$ alors $AM + MB > AB$$
$Si $M \in [AB]$ alors $AM + MB = AB$$

Définition 9 : On appelle milieu d'un segment le point du segment qui est équidistant des extrémités du segment.

$$$K$ milieu de $[AB] \iff \begin{cases} K \in [AB] \\ AK = KB \end{cases}$$$

Propriété 18 :

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

2 - Le cercle

Définition 10 : On appelle cercle de centre $K$ et de rayon $r > 0$ l'ensemble des points $M$ tels que : $KM = r$.

Propriété 19 : Les 3 médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point).
Leur point de concours est le centre du cercle passant par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.

Démonstration :

Soit $ABC$ un triangle quelconque.
On appelle $I, J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[AB], [BC]$ et $[AC]$.
On appelle $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ d'où $OA = OB = OC$.
$OA = OB$ donc $O$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
$OB = OC$ donc $O$ appartient à la médiatrice de $[BC]$.
$OA = OC$ donc $O$ appartient à la médiatrice de $[AC]$.
Donc les 3 médiatrices du triangle $ABC$ sont concourantes en $O$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Propriété 20 : Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse du triangle.

Propriété 21 : Si un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté.

3 - Aire du triangle

Propriété 22 : Si la hauteur $(AH)$ d'un triangle $ABC$ coupe la droite $(BC)$ en $H$ alors :
$\text{Aire}(ABC) = \dfrac{AH \times BC}{2}$

Reminders and complements in geometry

I - Lines

Property 1: If 2 lines are perpendicular to the same line then they are parallel.

Property 2: If 2 lines are parallel and a third line is perpendicular to one then it is perpendicular to the other.

Definition 1: The perpendicular bisector of a segment is the line perpendicular to the segment passing through its midpoint.

Definition 2: The angle bisector is a line that divides an angle into 2 equal angles.

II - Symmetries

Definition 3: The symmetric point of $M$ with respect to a line $(d)$ is the point $M'$ such that $(d)$ is the perpendicular bisector of the segment $[MM']$.

Definition 4: The symmetric point of $M$ with respect to a point $K$ is the point $M'$ such that $K$ is the midpoint of the segment $[MM']$.

III - The parallelogram

Definition 5: A parallelogram is a quadrilateral whose opposite sides are parallel.

Property 3: If the diagonals of a quadrilateral have the same midpoint then it is a parallelogram.

Property 4: If a parallelogram has perpendicular diagonals then it is a rhombus.

Property 5: If a parallelogram has two consecutive sides of the same length then it is a rhombus.

Property 6: If a parallelogram has diagonals of the same length then it is a rectangle.

Property 7: If a parallelogram has a right angle then it is a rectangle.

IV - The triangle

Definition 6: The altitude of a triangle is a line passing through a vertex of the triangle and perpendicular to the opposite side.

Definition 7: In a triangle, a median is a line passing through a vertex and the midpoint of the opposite side.

Property 8: The three medians of a triangle are concurrent.
Their intersection point is called the center of gravity (centroid) of the triangle.

Property 9: If a triangle is isosceles then the median, the altitude and the bisector passing through the principal vertex coincide with the perpendicular bisector of the base.

Property 10: The three altitudes of a triangle are concurrent.
Their intersection point is called the orthocenter of the triangle.

Property 11: The sum of the angles of a triangle is equal to $180^\circ$.

Property 12: Thales's theorem

Let $A, B, C, M$ and $N$ be distinct points in the plane.
If $\begin{cases} (MB) \text{ and } (NC) \text{ intersect at } A \\ \text{and } (MN) \parallel (BC) \end{cases}$ then $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Property 13: Converse of Thales's theorem

Let $A, B, C, M$ and $N$ be distinct points in the plane.
If $\begin{cases} A, B, M \text{ and } A, C, N \text{ are aligned in the same order} \\ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \end{cases}$ then $(MN) \parallel (BC)$

V - The right-angled triangle

Property 14: Pythagorean theorem

If a triangle is right-angled then the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two other sides.

Property 15: Converse of Pythagorean theorem

If, in a triangle, the square of the longest side is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the triangle is right-angled.

Definition 8: Let $\hat{a}$ be an acute angle of a right-angled triangle:

The cosine of the angle $\hat{a}$, denoted $\cos \hat{a}$, is the ratio $\cos \hat{a} = \dfrac{\text{length of adjacent side to } \hat{a}}{\text{length of hypotenuse}}$
The sine of the angle $\hat{a}$, denoted $\sin \hat{a}$, is the ratio $\sin \hat{a} = \dfrac{\text{length of opposite side to } \hat{a}}{\text{length of hypotenuse}}$
The tangent of the angle $\hat{a}$, denoted $\tan \hat{a}$, is the ratio $\tan \hat{a} = \dfrac{\text{length of opposite side to } \hat{a}}{\text{length of adjacent side to } \hat{a}}$

Property 16: In triangle $ABC$ right-angled at $A$: $(\cos \hat{B})^2 + (\sin \hat{B})^2 = 1$

VI - Distances and circle

1 - Distances

Property 17: Let $A, B$ and $M$ be three points in the plane.

$If $M \notin [AB]$ then $AM + MB > AB$$
$If $M \in [AB]$ then $AM + MB = AB$$

Definition 9: The midpoint of a segment is the point of the segment equidistant from its endpoints.

$$$K \text{ midpoint of } [AB] \iff \begin{cases} K \in [AB] \\ AK = KB \end{cases}$$$

Property 18:

If a point belongs to the perpendicular bisector of a segment then it is equidistant from the endpoints of this segment.
If a point is equidistant from the endpoints of a segment then it belongs to the perpendicular bisector of this segment.

2 - The circle

Definition 10: The circle of center $K$ and radius $r > 0$ is the set of points $M$ such that: $KM = r$.

Property 19: The 3 perpendicular bisectors of a triangle are concurrent.
Their intersection point is the center of the circle passing through the 3 vertices, called the circumscribed circle of the triangle.

Proof:

Let $ABC$ be any triangle.
Let $I, J$ and $K$ be the respective midpoints of segments $[AB], [BC]$ and $[AC]$.
Let $O$ be the center of the circumscribed circle of triangle $ABC$ thus $OA = OB = OC$.
$OA = OB$ so $O$ belongs to the perpendicular bisector of $[AB]$.
$OB = OC$ so $O$ belongs to the perpendicular bisector of $[BC]$.
$OA = OC$ so $O$ belongs to the perpendicular bisector of $[AC]$.
So the 3 perpendicular bisectors of triangle $ABC$ are concurrent at $O$, the center of the circumscribed circle of triangle $ABC$.

Property 20: If a triangle is right-angled then its circumscribed circle has the hypotenuse as diameter.

Property 21: If one of the sides of a triangle is a diameter of its circumscribed circle then this triangle is right-angled and its hypotenuse is this side.

3 - Area of the triangle

Property 22: If the altitude $(AH)$ of a triangle $ABC$ intersects $(BC)$ at $H$ then:
$\text{Area}(ABC) = \dfrac{AH \times BC}{2}$

Repasos y complementos de geometría

I - Las rectas

Propiedad 1: Si 2 rectas son perpendiculares a una misma recta entonces son paralelas.

Propiedad 2: Si 2 rectas son paralelas y una tercera recta es perpendicular a una entonces es perpendicular a la otra.

Definición 1: Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Definición 2: Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide al ángulo en 2 ángulos iguales.

II - Las simetrías

Definición 3: Se llama simétrico del punto $M$ respecto a una recta $(d)$ al punto $M'$ tal que $(d)$ es la mediatriz del segmento $[MM']$.

Definición 4: Se llama simétrico del punto $M$ respecto a un punto $K$ al punto $M'$ tal que $K$ es el punto medio del segmento $[MM']$.

III - El paralelogramo

Definición 5: Se llama paralelogramo a un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Propiedad 3: Si las diagonales de un cuadrilátero tienen el mismo punto medio entonces es un paralelogramo.

Propiedad 4: Si un paralelogramo tiene diagonales perpendiculares entonces es un rombo.

Propiedad 5: Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos de la misma longitud entonces es un rombo.

Propiedad 6: Si un paralelogramo tiene diagonales de la misma longitud entonces es un rectángulo.

Propiedad 7: Si un paralelogramo tiene un ángulo recto entonces es un rectángulo.

IV - El triángulo

Definición 6: Se llama altura de un triángulo a la recta que pasa por un vértice del triángulo y es perpendicular al lado opuesto a este vértice.

Definición 7: En un triángulo, se llama mediana a la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.

Propiedad 8: Las tres medianas de un triángulo son concurrentes.
Su punto de intersección se llama baricentro (centro de gravedad) del triángulo.

Propiedad 9: Si un triángulo es isósceles entonces la mediana, la altura y la bisectriz que pasan por el vértice principal coinciden con la mediatriz de la base.

Propiedad 10: Las tres alturas de un triángulo son concurrentes.
Su punto de intersección se llama ortocentro del triángulo.

Propiedad 11: La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es igual a $180^\circ$.

Propiedad 12: Teorema de Tales

Sean $A, B, C, M$ y $N$ puntos distintos del plano.
Si $\begin{cases} (MB) \text{ y } (NC) \text{ son secantes en } A \\ \text{y } (MN) \parallel (BC) \end{cases}$ entonces $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Propiedad 13: Recíproco del teorema de Tales

Sean $A, B, C, M$ y $N$ puntos distintos del plano.
Si $\begin{cases} A, B, M \text{ y } A, C, N \text{ están alineados en el mismo orden} \\ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \end{cases}$ entonces $(MN) \parallel (BC)$

V - El triángulo rectángulo

Propiedad 14: Teorema de Pitágoras

Si un triángulo es rectángulo entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados del triángulo.

Propiedad 15: Recíproco de Pitágoras

Si, en un triángulo, el cuadrado de la longitud del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados entonces este triángulo es rectángulo.

Definición 8: Sea $\hat{a}$ un ángulo agudo de un triángulo rectángulo:

Se llama coseno del ángulo $\hat{a}$, denotado $\cos \hat{a}$, a la razón $\cos \hat{a} = \dfrac{\text{longitud del lado adyacente a } \hat{a}}{\text{longitud de la hipotenusa}}$
Se llama seno del ángulo $\hat{a}$, denotado $\sin \hat{a}$, a la razón $\sin \hat{a} = \dfrac{\text{longitud del lado opuesto a } \hat{a}}{\text{longitud de la hipotenusa}}$
Se llama tangente del ángulo $\hat{a}$, denotada $\tan \hat{a}$, a la razón $\tan \hat{a} = \dfrac{\text{longitud del lado opuesto a } \hat{a}}{\text{longitud del lado adyacente a } \hat{a}}$

Propiedad 16: En el triángulo $ABC$ rectángulo en $A$: $(\cos \hat{B})^2 + (\sin \hat{B})^2 = 1$

VI - Distancias y círculo

1 - Distancias

Propiedad 17: Sean $A, B$ y $M$ tres puntos del plano.

$Si $M \notin [AB]$ entonces $AM + MB > AB$$
$Si $M \in [AB]$ entonces $AM + MB = AB$$

Definición 9: Se llama punto medio de un segmento al punto del segmento que equidista de los extremos del segmento.

$$$K \text{ punto medio de } [AB] \iff \begin{cases} K \in [AB] \\ AK = KB \end{cases}$$$

Propiedad 18:

Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento entonces equidista de los extremos de este segmento.
Si un punto equidista de los extremos de un segmento entonces pertenece a la mediatriz de este segmento.

2 - El círculo

Definición 10: Se llama círculo de centro $K$ y radio $r > 0$ al conjunto de puntos $M$ tales que: $KM = r$.

Propiedad 19: Las 3 mediatrices de un triángulo son concurrentes.
Su punto de intersección es el centro del círculo que pasa por los 3 vértices del triángulo, llamado círculo circunscrito al triángulo.

Demostración:

Sea $ABC$ un triángulo cualquiera.
Llamamos $I, J$ y $K$ a los puntos medios respectivos de los segmentos $[AB], [BC]$ y $[AC]$.
Llamamos $O$ al centro del círculo circunscrito al triángulo $ABC$ de donde $OA = OB = OC$.
$OA = OB$ entonces $O$ pertenece a la mediatriz de $[AB]$.
$OB = OC$ entonces $O$ pertenece a la mediatriz de $[BC]$.
$OA = OC$ entonces $O$ pertenece a la mediatriz de $[AC]$.
Por lo tanto las 3 mediatrices del triángulo $ABC$ son concurrentes en $O$ centro del círculo circunscrito al triángulo $ABC$.

Propiedad 20: Si un triángulo es rectángulo entonces su círculo circunscrito tiene como diámetro la hipotenusa del triángulo.

Propiedad 21: Si uno de los lados de un triángulo es un diámetro de su círculo circunscrito entonces este triángulo es rectángulo y tiene por hipotenusa a este lado.

3 - Área del triángulo

Propiedad 22: Si la altura $(AH)$ de un triángulo $ABC$ corta a la recta $(BC)$ en $H$ entonces:
$\text{Área}(ABC) = \dfrac{AH \times BC}{2}$