La fonction racine carrée
Définition 1 : On appelle fonction racine carrée la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $x \mapsto \sqrt{x}$.
Étude des variations de la fonction racine carrée
$$Soit $x_1, x_2 \in [0 ; +\infty[$ tels que $x_1 \le x_2$$$
$$\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \frac{(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1})(\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1})}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} = \frac{(\sqrt{x_2})^2 - (\sqrt{x_1})^2}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}}$$
$$\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1} > 0 \text{ et } x_1 \le x_2 \text{ donc } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{donc } \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} \ge 0$$
$$\text{donc } x \mapsto \sqrt{x} \text{ est \textbf{croissante} sur } [0 ; +\infty[$$
On en déduit le tableau de variation de la fonction racine carrée :
| $x$ | 0 | $+\infty$ |
| $\sqrt{x}$ | 0 | |
Représentation graphique de la fonction racine carrée
La courbe représentative de la fonction racine carrée est la courbe d'équation $\color{red}{y = \sqrt{x}}$.
Elle est au-dessus de l'axe des abscisses.
En effet, pour tout $x \in [0 ; +\infty[, \sqrt{x} \ge 0$.
$(0; 0)$ est l'unique point de contact de la courbe avec l'axe des abscisses.
En effet, $\color{red}{\sqrt{0} = 0}$.
Application : Comparer des expressions
Étudier les variations de la fonction $f : x \mapsto -2\sqrt{x} + 3$ sur $[0 ; +\infty[$.
$$0 \le x_1 < x_2$$
$$\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2} \quad \text{(\textit{fonction racine carrée croissante sur } } [0 ; +\infty[ \text{)}$$
$$-2\sqrt{x_1} > -2\sqrt{x_2} \quad \text{(\textit{multiplication par un nombre négatif})}$$
$$-2\sqrt{x_1} + 3 > -2\sqrt{x_2} + 3$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Donc la fonction $f$ est décroissante sur $[0 ; +\infty[$.
The square root function
Definition 1: The square root function is the function defined on $[0 ; +\infty[$ by $x \mapsto \sqrt{x}$.
Study of the variations of the square root function
$$Let $x_1, x_2 \in [0 ; +\infty[$ such that $x_1 \le x_2$$$
$$\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \frac{(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1})(\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1})}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} = \frac{(\sqrt{x_2})^2 - (\sqrt{x_1})^2}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}}$$
$$\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1} > 0 \text{ and } x_1 \le x_2 \text{ so } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{so } \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} \ge 0$$
$$\text{so } x \mapsto \sqrt{x} \text{ is \textbf{increasing} on } [0 ; +\infty[$$
We deduce the variation table of the square root function:
| $x$ | 0 | $+\infty$ |
| $\sqrt{x}$ | 0 | |
Graphical representation of the square root function
The representative curve of the square root function is the curve with equation $\color{red}{y = \sqrt{x}}$.
It is above the x-axis.
Indeed, for all $x \in [0 ; +\infty[, \sqrt{x} \ge 0$.
$(0; 0)$ is the only contact point of the curve with the x-axis.
Indeed, $\color{red}{\sqrt{0} = 0}$.
Application: Comparing expressions
Study the variations of the function $f : x \mapsto -2\sqrt{x} + 3$ on $[0 ; +\infty[$.
$$0 \le x_1 < x_2$$
$$\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2} \quad \text{(\textit{increasing square root function on } } [0 ; +\infty[ \text{)}$$
$$-2\sqrt{x_1} > -2\sqrt{x_2} \quad \text{(\textit{multiplication by a negative number})}$$
$$-2\sqrt{x_1} + 3 > -2\sqrt{x_2} + 3$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Therefore the function $f$ is decreasing on $[0 ; +\infty[$.
La función raíz cuadrada
Definición 1: Se llama función raíz cuadrada a la función definida en $[0 ; +\infty[$ por $x \mapsto \sqrt{x}$.
Estudio de las variaciones de la función raíz cuadrada
$$Sean $x_1, x_2 \in [0 ; +\infty[$ tales que $x_1 \le x_2$$$
$$\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \frac{(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1})(\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1})}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} = \frac{(\sqrt{x_2})^2 - (\sqrt{x_1})^2}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}}$$
$$\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1} > 0 \text{ y } x_1 \le x_2 \text{ entonces } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{luego } \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} \ge 0$$
$$\text{luego } x \mapsto \sqrt{x} \text{ es \textbf{creciente} en } [0 ; +\infty[$$
Deducimos la tabla de variación de la función raíz cuadrada:
| $x$ | 0 | $+\infty$ |
| $\sqrt{x}$ | 0 | |
Representación gráfica de la función raíz cuadrada
La curva representativa de la función raíz cuadrada es la curva de ecuación $\color{red}{y = \sqrt{x}}$.
Está por encima del eje de abscisas.
En efecto, para todo $x \in [0 ; +\infty[, \sqrt{x} \ge 0$.
$(0; 0)$ es el único punto de contacto de la curva con el eje de abscisas.
En efecto, $\color{red}{\sqrt{0} = 0}$.
Aplicación: Comparar expresiones
Estudiar las variaciones de la función $f : x \mapsto -2\sqrt{x} + 3$ en $[0 ; +\infty[$.
$$0 \le x_1 < x_2$$
$$\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2} \quad \text{(\textit{función raíz cuadrada creciente en } } [0 ; +\infty[ \text{)}$$
$$-2\sqrt{x_1} > -2\sqrt{x_2} \quad \text{(\textit{multiplicación por un número negativo})}$$
$$-2\sqrt{x_1} + 3 > -2\sqrt{x_2} + 3$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Por lo tanto, la función $f$ es decreciente en $[0 ; +\infty[$.