La fonction inverse
Définition 1 : On appelle fonction inverse la fonction définie sur $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ par $x \mapsto \dfrac{1}{x}$.
Étude des variations de la fonction inverse
$$Soit $x_1, x_2 \in ]-\infty ; 0[$ tels que $x_1 \le x_2$$$
$$\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1 \times x_1}{x_2 \times x_1} - \frac{1 \times x_2}{x_1 \times x_2} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}$$
$$x_1 \le x_2 \text{ donc } x_1 - x_2 \le 0$$
$$\text{et } x_1 < 0 \text{ et } x_2 < 0 \text{ donc } x_1x_2 > 0$$
$$\text{donc } \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2} \le 0 \text{ donc } \frac{1}{x_2} \le \frac{1}{x_1}$$
$$\text{donc } x \mapsto \frac{1}{x} \text{ est \textbf{décroissante} sur } ]-\infty ; 0[$$
$$Soit $x_1, x_2 \in ]0 ; +\infty[$ tels que $x_1 \le x_2$$$
$$\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1 \times x_1}{x_2 \times x_1} - \frac{1 \times x_2}{x_1 \times x_2} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}$$
$$x_1 \le x_2 \text{ donc } x_1 - x_2 \le 0$$
$$\text{et } x_1 > 0 \text{ et } x_2 > 0 \text{ donc } x_1x_2 > 0$$
$$\text{donc } \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2} \le 0 \text{ donc } \frac{1}{x_2} \le \frac{1}{x_1}$$
$$\text{donc } x \mapsto \frac{1}{x} \text{ est \textbf{décroissante} sur } ]0 ; +\infty[$$
On en déduit le tableau de variation de la fonction inverse :
| $x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ |
| $\dfrac{1}{x}$ |
|
Représentation graphique de la fonction inverse
La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équation $\color{red}{y = \dfrac{1}{x}}$.
Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Elle est composée de 2 branches puisque $0$ n'a pas d'image.
La courbe est en dessous de l'axe des abscisses sur $]-\infty ; 0[$.
En effet, pour tout $x \in ]-\infty ; 0[, \dfrac{1}{x} < 0$.
La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses sur $]0 ; +\infty[$.
En effet, pour tout $x \in ]0 ; +\infty[, \dfrac{1}{x} > 0$.
Application : Comparer des expressions
Étudier les variations de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{2}{x} - 1$ sur $]0 ; +\infty[$.
$$0 < x_1 < x_2$$
$$\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2} > 0 \quad \text{(\textit{fonction inverse décroissante sur } } ]0 ; +\infty[ \text{)}$$
$$2 \times \frac{1}{x_1} > 2 \times \frac{1}{x_2} > 0$$
$$\frac{2}{x_1} - 1 > \frac{2}{x_2} - 1$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Donc la fonction $f$ est décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
The inverse function
Definition 1: The inverse function is the function defined on $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ by $x \mapsto \dfrac{1}{x}$.
Study of the variations of the inverse function
$$Let $x_1, x_2 \in ]-\infty ; 0[$ such that $x_1 \le x_2$$$
$$\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1 \times x_1}{x_2 \times x_1} - \frac{1 \times x_2}{x_1 \times x_2} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}$$
$$x_1 \le x_2 \text{ so } x_1 - x_2 \le 0$$
$$\text{and } x_1 < 0 \text{ and } x_2 < 0 \text{ so } x_1x_2 > 0$$
$$\text{so } \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2} \le 0 \text{ so } \frac{1}{x_2} \le \frac{1}{x_1}$$
$$\text{so } x \mapsto \frac{1}{x} \text{ is \textbf{decreasing} on } ]-\infty ; 0[$$
$$Let $x_1, x_2 \in ]0 ; +\infty[$ such that $x_1 \le x_2$$$
$$\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1 \times x_1}{x_2 \times x_1} - \frac{1 \times x_2}{x_1 \times x_2} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}$$
$$x_1 \le x_2 \text{ so } x_1 - x_2 \le 0$$
$$\text{and } x_1 > 0 \text{ and } x_2 > 0 \text{ so } x_1x_2 > 0$$
$$\text{so } \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2} \le 0 \text{ so } \frac{1}{x_2} \le \frac{1}{x_1}$$
$$\text{so } x \mapsto \frac{1}{x} \text{ is \textbf{decreasing} on } ]0 ; +\infty[$$
We deduce the variation table of the inverse function:
| $x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ |
| $\dfrac{1}{x}$ |
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Graphical representation of the inverse function
The representative curve of the inverse function is the hyperbola with equation $\color{red}{y = \dfrac{1}{x}}$.
It is symmetric with respect to the origin.
It is composed of 2 branches since $0$ has no image.
The curve is below the x-axis on $]-\infty ; 0[$.
Indeed, for all $x \in ]-\infty ; 0[, \dfrac{1}{x} < 0$.
The curve is above the x-axis on $]0 ; +\infty[$.
Indeed, for all $x \in ]0 ; +\infty[, \dfrac{1}{x} > 0$.
Application: Comparing expressions
Study the variations of the function $f : x \mapsto \dfrac{2}{x} - 1$ on $]0 ; +\infty[$.
$$0 < x_1 < x_2$$
$$\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2} > 0 \quad \text{(\textit{decreasing inverse function on } } ]0 ; +\infty[ \text{)}$$
$$2 \times \frac{1}{x_1} > 2 \times \frac{1}{x_2} > 0$$
$$\frac{2}{x_1} - 1 > \frac{2}{x_2} - 1$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Therefore the function $f$ is decreasing on $]0 ; +\infty[$.
La función inversa
Definición 1: Se llama función inversa a la función definida en $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ por $x \mapsto \dfrac{1}{x}$.
Estudio de las variaciones de la función inversa
$$Sean $x_1, x_2 \in ]-\infty ; 0[$ tales que $x_1 \le x_2$$$
$$\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1 \times x_1}{x_2 \times x_1} - \frac{1 \times x_2}{x_1 \times x_2} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}$$
$$x_1 \le x_2 \text{ entonces } x_1 - x_2 \le 0$$
$$\text{y } x_1 < 0 \text{ y } x_2 < 0 \text{ entonces } x_1x_2 > 0$$
$$\text{luego } \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2} \le 0 \text{ luego } \frac{1}{x_2} \le \frac{1}{x_1}$$
$$\text{luego } x \mapsto \frac{1}{x} \text{ es \textbf{decreciente} en } ]-\infty ; 0[$$
$$Sean $x_1, x_2 \in ]0 ; +\infty[$ tales que $x_1 \le x_2$$$
$$\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{1 \times x_1}{x_2 \times x_1} - \frac{1 \times x_2}{x_1 \times x_2} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}$$
$$x_1 \le x_2 \text{ entonces } x_1 - x_2 \le 0$$
$$\text{y } x_1 > 0 \text{ y } x_2 > 0 \text{ entonces } x_1x_2 > 0$$
$$\text{luego } \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2} \le 0 \text{ luego } \frac{1}{x_2} \le \frac{1}{x_1}$$
$$\text{luego } x \mapsto \frac{1}{x} \text{ es \textbf{decreciente} en } ]0 ; +\infty[$$
Deducimos la tabla de variación de la función inversa:
| $x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ |
| $\dfrac{1}{x}$ |
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Representación gráfica de la función inversa
La curva representativa de la función inversa es la hipérbola de ecuación $\color{red}{y = \dfrac{1}{x}}$.
Es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Está compuesta por 2 ramas ya que $0$ no tiene imagen.
La curva está por debajo del eje de abscisas en $]-\infty ; 0[$.
En efecto, para todo $x \in ]-\infty ; 0[, \dfrac{1}{x} < 0$.
La curva está por encima del eje de abscisas en $]0 ; +\infty[$.
En efecto, para todo $x \in ]0 ; +\infty[, \dfrac{1}{x} > 0$.
Aplicación: Comparar expresiones
Estudiar las variaciones de la función $f : x \mapsto \dfrac{2}{x} - 1$ en $]0 ; +\infty[$.
$$0 < x_1 < x_2$$
$$\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2} > 0 \quad \text{(\textit{función inversa decreciente en } } ]0 ; +\infty[ \text{)}$$
$$2 \times \frac{1}{x_1} > 2 \times \frac{1}{x_2} > 0$$
$$\frac{2}{x_1} - 1 > \frac{2}{x_2} - 1$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Por lo tanto, la función $f$ es decreciente en $]0 ; +\infty[$.