La fonction cube
Définition 1 : On appelle fonction cube la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto x^3$.
Étude des variations de la fonction cube
Remarque : $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$
$$Soit $x_1, x_2 \in ]-\infty ; 0]$ tels que $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2)$$
$$x_1 \le 0 \text{ et } x_2 \le 0 \text{ donc } x_2x_1 \ge 0$$
$$\text{et } x_1 \le x_2 \text{ donc } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{donc } (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2) \ge 0$$
$$\text{donc } x_2^3 \ge x_1^3$$
$$\text{donc } x \mapsto x^3 \text{ est \textbf{croissante} sur } ]-\infty ; 0]$$
$$Soit $x_1, x_2 \in [0 ; +\infty[$ tels que $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2)$$
$$x_1 \ge 0 \text{ et } x_2 \ge 0 \text{ donc } x_2x_1 \ge 0$$
$$\text{et } x_1 \le x_2 \text{ donc } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{donc } (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2) \ge 0$$
$$\text{donc } x_2^3 \ge x_1^3$$
$$\text{donc } x \mapsto x^3 \text{ est \textbf{croissante} sur } [0 ; +\infty[$$
On en déduit le tableau de variation de la fonction cube :
| $x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ |
| $x^3$ | 0 | ||
Représentation graphique de la fonction cube
La courbe représentative de la fonction cube est la courbe d'équation $\color{red}{y = x^3}$. Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.
La courbe est en dessous de l'axe des abscisses sur $]-\infty ; 0[$.
En effet, pour tout $x \in ]-\infty ; 0[, x^3 < 0$.
La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses sur $]0 ; +\infty[$.
En effet, pour tout $x \in ]0 ; +\infty[, x^3 > 0$.
$(0; 0)$ est l'unique point de contact de la courbe avec l'axe des abscisses.
En effet, $\color{red}{0^3 = 0}$.
Application : Comparer des expressions
Étudier les variations de la fonction $f : x \mapsto -x^3 + 1$ sur $\mathbb{R}$.
$$x_1 < x_2$$
$$x_1^3 < x_2^3 \quad \text{(\textit{fonction cube croissante sur } } \mathbb{R} \text{)}$$
$$-x_1^3 > -x_2^3 \quad \text{(\textit{multiplication par un nombre négatif})}$$
$$-x_1^3 + 1 > -x_2^3 + 1$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Donc la fonction $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
The cube function
Definition 1: The cube function is the function defined on $\mathbb{R}$ by $x \mapsto x^3$.
Study of the variations of the cube function
Note: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$
$$Let $x_1, x_2 \in ]-\infty ; 0]$ such that $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2)$$
$$x_1 \le 0 \text{ and } x_2 \le 0 \text{ so } x_2x_1 \ge 0$$
$$\text{and } x_1 \le x_2 \text{ so } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{so } (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2) \ge 0$$
$$\text{so } x_2^3 \ge x_1^3$$
$$\text{so } x \mapsto x^3 \text{ is \textbf{increasing} on } ]-\infty ; 0]$$
$$Let $x_1, x_2 \in [0 ; +\infty[$ such that $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2)$$
$$x_1 \ge 0 \text{ and } x_2 \ge 0 \text{ so } x_2x_1 \ge 0$$
$$\text{and } x_1 \le x_2 \text{ so } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{so } (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2) \ge 0$$
$$\text{so } x_2^3 \ge x_1^3$$
$$\text{so } x \mapsto x^3 \text{ is \textbf{increasing} on } [0 ; +\infty[$$
We deduce the variation table of the cube function:
| $x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ |
| $x^3$ | 0 | ||
Graphical representation of the cube function
The representative curve of the cube function is the curve with equation $\color{red}{y = x^3}$. It is symmetric with respect to the origin.
The curve is below the x-axis on $]-\infty ; 0[$.
Indeed, for all $x \in ]-\infty ; 0[, x^3 < 0$.
The curve is above the x-axis on $]0 ; +\infty[$.
Indeed, for all $x \in ]0 ; +\infty[, x^3 > 0$.
$(0; 0)$ is the only contact point of the curve with the x-axis.
Indeed, $\color{red}{0^3 = 0}$.
Application: Comparing expressions
Study the variations of the function $f : x \mapsto -x^3 + 1$ on $\mathbb{R}$.
$$x_1 < x_2$$
$$x_1^3 < x_2^3 \quad \text{(\textit{increasing cube function on } } \mathbb{R} \text{)}$$
$$-x_1^3 > -x_2^3 \quad \text{(\textit{multiplication by a negative number})}$$
$$-x_1^3 + 1 > -x_2^3 + 1$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Therefore the function $f$ is decreasing on $\mathbb{R}$.
La función cubo
Definición 1: Se llama función cubo a la función definida en $\mathbb{R}$ por $x \mapsto x^3$.
Estudio de las variaciones de la función cubo
Nota: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$
$$Sean $x_1, x_2 \in ]-\infty ; 0]$ tales que $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2)$$
$$x_1 \le 0 \text{ y } x_2 \le 0 \text{ entonces } x_2x_1 \ge 0$$
$$\text{y } x_1 \le x_2 \text{ entonces } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{luego } (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2) \ge 0$$
$$\text{luego } x_2^3 \ge x_1^3$$
$$\text{luego } x \mapsto x^3 \text{ es \textbf{creciente} en } ]-\infty ; 0]$$
$$Sean $x_1, x_2 \in [0 ; +\infty[$ tales que $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2)$$
$$x_1 \ge 0 \text{ y } x_2 \ge 0 \text{ entonces } x_2x_1 \ge 0$$
$$\text{y } x_1 \le x_2 \text{ entonces } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{luego } (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2) \ge 0$$
$$\text{luego } x_2^3 \ge x_1^3$$
$$\text{luego } x \mapsto x^3 \text{ es \textbf{creciente} en } [0 ; +\infty[$$
Deducimos la tabla de variación de la función cubo:
| $x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ |
| $x^3$ | 0 | ||
Representación gráfica de la función cubo
La curva representativa de la función cubo es la curva de ecuación $\color{red}{y = x^3}$. Es simétrica respecto al origen de coordenadas.
La curva está por debajo del eje de abscisas en $]-\infty ; 0[$.
En efecto, para todo $x \in ]-\infty ; 0[, x^3 < 0$.
La curva está por encima del eje de abscisas en $]0 ; +\infty[$.
En efecto, para todo $x \in ]0 ; +\infty[, x^3 > 0$.
$(0; 0)$ es el único punto de contacto de la curva con el eje de abscisas.
En efecto, $\color{red}{0^3 = 0}$.
Aplicación: Comparar expresiones
Estudiar las variaciones de la función $f : x \mapsto -x^3 + 1$ en $\mathbb{R}$.
$$x_1 < x_2$$
$$x_1^3 < x_2^3 \quad \text{(\textit{función cubo creciente en } } \mathbb{R} \text{)}$$
$$-x_1^3 > -x_2^3 \quad \text{(\textit{multiplicación por un número negativo})}$$
$$-x_1^3 + 1 > -x_2^3 + 1$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Por lo tanto, la función $f$ es decreciente en $\mathbb{R}$.