La fonction carré
Définition 1 : On appelle fonction carré la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto x^2$.
Étude des variations de la fonction carré
$$Soit $x_1, x_2 \in ]-\infty ; 0]$ tels que $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)$$
$$x_1 \le 0 \text{ et } x_2 \le 0 \text{ donc } x_2 + x_1 \le 0$$
$$\text{et } x_1 \le x_2 \text{ donc } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{donc } (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) \le 0$$
$$\text{donc } x_2^2 \le x_1^2$$
$$\text{donc } x \mapsto x^2 \text{ est \textbf{décroissante} sur } ]-\infty ; 0]$$
$$Soit $x_1, x_2 \in [0 ; +\infty[$ tels que $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)$$
$$x_1 \ge 0 \text{ et } x_2 \ge 0 \text{ donc } x_2 + x_1 \ge 0$$
$$\text{et } x_1 \le x_2 \text{ donc } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{donc } (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) \ge 0$$
$$\text{donc } x_2^2 \ge x_1^2$$
$$\text{donc } x \mapsto x^2 \text{ est \textbf{croissante} sur } [0 ; +\infty[$$
On en déduit le tableau de variation de la fonction carré :
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $x^2$ | 0 | |
Représentation graphique de la fonction carré
La courbe représentative de la fonction carré est la parabole d'équation $\color{red}{y = x^2}$.
Elle est au-dessus de l'axe des abscisses.
En effet, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0$.
$(0; 0)$ est l'unique point de contact de la parabole avec l'axe des abscisses.
En effet, $\color{red}{0^2 = 0}$.
Application : Comparer des expressions
Étudier les variations de la fonction $f : x \mapsto -4x^2 + 1$ sur $[0 ; +\infty[$.
$$0 \le x_1 < x_2$$
$$0 \le x_1^2 < x_2^2 \quad \text{(\textit{fonction carrée croissante sur } } [0 ; +\infty[ \text{)}$$
$$(-4) \times x_1^2 > (-4) \times x_2^2 \quad \text{(\textit{multiplication par un nombre négatif})}$$
$$-4x_1^2 + 1 > -4x_2^2 + 1$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Donc la fonction $f$ est décroissante sur $[0 ; +\infty[$.
The square function
Definition 1: The square function is the function defined on $\mathbb{R}$ by $x \mapsto x^2$.
Study of the variations of the square function
$$Let $x_1, x_2 \in ]-\infty ; 0]$ such that $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)$$
$$x_1 \le 0 \text{ and } x_2 \le 0 \text{ so } x_2 + x_1 \le 0$$
$$\text{and } x_1 \le x_2 \text{ so } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{so } (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) \le 0$$
$$\text{so } x_2^2 \le x_1^2$$
$$\text{so } x \mapsto x^2 \text{ is \textbf{decreasing} on } ]-\infty ; 0]$$
$$Let $x_1, x_2 \in [0 ; +\infty[$ such that $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)$$
$$x_1 \ge 0 \text{ and } x_2 \ge 0 \text{ so } x_2 + x_1 \ge 0$$
$$\text{and } x_1 \le x_2 \text{ so } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{so } (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) \ge 0$$
$$\text{so } x_2^2 \ge x_1^2$$
$$\text{so } x \mapsto x^2 \text{ is \textbf{increasing} on } [0 ; +\infty[$$
We deduce the variation table of the square function:
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $x^2$ | 0 | |
Graphical representation of the square function
The representative curve of the square function is the parabola with equation $\color{red}{y = x^2}$.
It is above the x-axis.
Indeed, for all $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0$.
$(0; 0)$ is the only contact point of the parabola with the x-axis.
Indeed, $\color{red}{0^2 = 0}$.
Application: Comparing expressions
Study the variations of the function $f : x \mapsto -4x^2 + 1$ on $[0 ; +\infty[$.
$$0 \le x_1 < x_2$$
$$0 \le x_1^2 < x_2^2 \quad \text{(\textit{increasing square function on } } [0 ; +\infty[ \text{)}$$
$$(-4) \times x_1^2 > (-4) \times x_2^2 \quad \text{(\textit{multiplication by a negative number})}$$
$$-4x_1^2 + 1 > -4x_2^2 + 1$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Therefore the function $f$ is decreasing on $[0 ; +\infty[$.
La función cuadrado
Definición 1: Se llama función cuadrado a la función definida en $\mathbb{R}$ por $x \mapsto x^2$.
Estudio de las variaciones de la función cuadrado
$$Sean $x_1, x_2 \in ]-\infty ; 0]$ tales que $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)$$
$$x_1 \le 0 \text{ y } x_2 \le 0 \text{ entonces } x_2 + x_1 \le 0$$
$$\text{y } x_1 \le x_2 \text{ entonces } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{luego } (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) \le 0$$
$$\text{luego } x_2^2 \le x_1^2$$
$$\text{luego } x \mapsto x^2 \text{ es \textbf{decreciente} en } ]-\infty ; 0]$$
$$Sean $x_1, x_2 \in [0 ; +\infty[$ tales que $x_1 \le x_2$$$
$$x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)$$
$$x_1 \ge 0 \text{ y } x_2 \ge 0 \text{ entonces } x_2 + x_1 \ge 0$$
$$\text{y } x_1 \le x_2 \text{ entonces } x_2 - x_1 \ge 0$$
$$\text{luego } (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) \ge 0$$
$$\text{luego } x_2^2 \ge x_1^2$$
$$\text{luego } x \mapsto x^2 \text{ es \textbf{creciente} en } [0 ; +\infty[$$
Deducimos la tabla de variación de la función cuadrado:
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $x^2$ | 0 | |
Representación gráfica de la función cuadrado
La curva representativa de la función cuadrado es la parábola de ecuación $\color{red}{y = x^2}$.
Está por encima del eje de abscisas.
En efecto, para todo $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0$.
$(0; 0)$ es el único punto de contacto de la parábola con el eje de abscisas.
En efecto, $\color{red}{0^2 = 0}$.
Aplicación: Comparar expresiones
Estudiar las variaciones de la función $f : x \mapsto -4x^2 + 1$ en $[0 ; +\infty[$.
$$0 \le x_1 < x_2$$
$$0 \le x_1^2 < x_2^2 \quad \text{(\textit{función cuadrado creciente en } } [0 ; +\infty[ \text{)}$$
$$(-4) \times x_1^2 > (-4) \times x_2^2 \quad \text{(\textit{multiplicación por un número negativo})}$$
$$-4x_1^2 + 1 > -4x_2^2 + 1$$
$$f(x_1) > f(x_2)$$
Por lo tanto, la función $f$ es decreciente en $[0 ; +\infty[$.