La fonction affine
I - Définition et représentation graphique
Définition 1 : On appelle fonction affine une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto ax + b$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.
Remarque : Une fonction linéaire $x \mapsto ax$ définie sur $\mathbb{R}$ est une fonction affine particulière.
Propriété 1 : La représentation graphique de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto ax + b$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ est la droite d'équation $y = ax + b$.
Représentation graphique d'une fonction affine
$$Représentation graphique de $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto 3x - 4$.$$
La représentation graphique de $f$ est la droite $D_f : y = 3x - 4$.
Pour tracer cette droite, il suffit d'avoir les coordonnées de 2 points distincts de cette droite.
$$f(0) = 3 \times 0 - 4 = -4 \quad \text{donc } (0; -4) \in D_f$$
$$f(2) = 3 \times 2 - 4 = 2 \quad \text{donc } (2; 2) \in D_f$$
Le coefficient directeur de $D_f$ est la différence des images de 2 entiers consécutifs : $\color{red}{a = f(2) - f(1) = 2 - (3 \times 1 - 4) = 3}$.
(Cela explique la méthode graphique pour déterminer le coefficient directeur.)
L'ordonnée à l'origine de $D_f$ est l'ordonnée du point d'intersection de $D_f$ avec l'axe (Oy) : $\color{red}{b = -4}$
II - Sens de variation et signe ($a \neq 0$)
Sens de variation de $f : x \mapsto ax + b$ avec $a \neq 0$
Soit $x_1$ et $x_2$ des réels tels que $x_1 < x_2$ ;
Si $a < 0$ alors $a \times x_1 > a \times x_2$
d'où $a \times x_1 + b > a \times x_2 + b$
donc $f(x_1) > f(x_2)$
donc $f$ est décroissante.
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a < 0$ |
||
Si $a > 0$ alors $a \times x_1 < a \times x_2$
d'où $a \times x_1 + b < a \times x_2 + b$
donc $f(x_1) < f(x_2)$
donc $f$ est croissante.
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a > 0$ |
||
Signe de $f : x \mapsto ax + b$ avec $a \neq 0$
Si $a < 0$ alors \quad $ax + b > 0$
$$\iff ax > -b$$
$$\iff x < -\dfrac{b}{a} \quad (\text{car } \color{red}{a < 0}\color{black}{)}$$
Si $a > 0$ alors \quad $ax + b > 0$
$$\iff ax > -b$$
$$\iff x > -\dfrac{b}{a} \quad (\text{car } \color{red}{a > 0}\color{black}{)}$$
Propriété 2 : Tableau récapitulatif d'une fonction affine
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{-b}{a}$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a < 0$ |
|||
| Signe de $ax + b$ | $+$ | 0 | $-$ |
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{-b}{a}$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a > 0$ |
|||
| Signe de $ax + b$ | $-$ | 0 | $+$ |
The affine function
I - Definition and graphical representation
Definition 1: An affine function is a function defined on $\mathbb{R}$ by $x \mapsto ax + b$ with $a, b \in \mathbb{R}$.
Note: A linear function $x \mapsto ax$ defined on $\mathbb{R}$ is a particular affine function.
Property 1: The graphical representation of the function defined on $\mathbb{R}$ by $x \mapsto ax + b$ with $a, b \in \mathbb{R}$ is the line with equation $y = ax + b$.
Graphical representation of an affine function
$$Graphical representation of $f$ defined on $\mathbb{R}$ by $x \mapsto 3x - 4$.$$
The graphical representation of $f$ is the line $D_f : y = 3x - 4$.
To draw this line, it is sufficient to have the coordinates of 2 distinct points on this line.
$$f(0) = 3 \times 0 - 4 = -4 \quad \text{so } (0; -4) \in D_f$$
$$f(2) = 3 \times 2 - 4 = 2 \quad \text{so } (2; 2) \in D_f$$
The slope (leading coefficient) of $D_f$ is the difference of the images of 2 consecutive integers: $\color{red}{a = f(2) - f(1) = 2 - (3 \times 1 - 4) = 3}$.
(This explains the graphical method to determine the slope.)
The y-intercept of $D_f$ is the ordinate of the intersection point of $D_f$ with the (Oy) axis: $\color{red}{b = -4}$
II - Direction of variation and sign ($a \neq 0$)
Direction of variation of $f : x \mapsto ax + b$ with $a \neq 0$
Let $x_1$ and $x_2$ be real numbers such that $x_1 < x_2$ ;
If $a < 0$ then $a \times x_1 > a \times x_2$
hence $a \times x_1 + b > a \times x_2 + b$
so $f(x_1) > f(x_2)$
so $f$ is decreasing.
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a < 0$ |
||
If $a > 0$ then $a \times x_1 < a \times x_2$
hence $a \times x_1 + b < a \times x_2 + b$
so $f(x_1) < f(x_2)$
so $f$ is increasing.
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a > 0$ |
||
Sign of $f : x \mapsto ax + b$ with $a \neq 0$
If $a < 0$ then \quad $ax + b > 0$
$$\iff ax > -b$$
$$\iff x < -\dfrac{b}{a} \quad (\text{because } \color{red}{a < 0}\color{black}{)}$$
If $a > 0$ then \quad $ax + b > 0$
$$\iff ax > -b$$
$$\iff x > -\dfrac{b}{a} \quad (\text{because } \color{red}{a > 0}\color{black}{)}$$
Property 2: Summary table of an affine function
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{-b}{a}$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a < 0$ |
|||
| Sign of $ax + b$ | $+$ | 0 | $-$ |
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{-b}{a}$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a > 0$ |
|||
| Sign of $ax + b$ | $-$ | 0 | $+$ |
La función afín
I - Definición y representación gráfica
Definición 1: Se llama función afín a una función definida en $\mathbb{R}$ por $x \mapsto ax + b$ con $a, b \in \mathbb{R}$.
Nota: Una función lineal $x \mapsto ax$ definida en $\mathbb{R}$ es una función afín particular.
Propiedad 1: La representación gráfica de la función definida en $\mathbb{R}$ por $x \mapsto ax + b$ con $a, b \in \mathbb{R}$ es la recta de ecuación $y = ax + b$.
Representación gráfica de una función afín
$$Representación gráfica de $f$ definida en $\mathbb{R}$ por $x \mapsto 3x - 4$.$$
La representación gráfica de $f$ es la recta $D_f : y = 3x - 4$.
Para trazar esta recta, basta con tener las coordenadas de 2 puntos distintos de esta recta.
$$f(0) = 3 \times 0 - 4 = -4 \quad \text{luego } (0; -4) \in D_f$$
$$f(2) = 3 \times 2 - 4 = 2 \quad \text{luego } (2; 2) \in D_f$$
El coeficiente director (pendiente) de $D_f$ es la diferencia de las imágenes de 2 enteros consecutivos: $\color{red}{a = f(2) - f(1) = 2 - (3 \times 1 - 4) = 3}$.
(Esto explica el método gráfico para determinar la pendiente.)
La ordenada al origen de $D_f$ es la ordenada del punto de intersección de $D_f$ con el eje (Oy): $\color{red}{b = -4}$
II - Sentido de variación y signo ($a \neq 0$)
Sentido de variación de $f : x \mapsto ax + b$ con $a \neq 0$
Sean $x_1$ y $x_2$ números reales tales que $x_1 < x_2$ ;
Si $a < 0$ entonces $a \times x_1 > a \times x_2$
de donde $a \times x_1 + b > a \times x_2 + b$
luego $f(x_1) > f(x_2)$
luego $f$ es decreciente.
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a < 0$ |
||
Si $a > 0$ entonces $a \times x_1 < a \times x_2$
de donde $a \times x_1 + b < a \times x_2 + b$
luego $f(x_1) < f(x_2)$
luego $f$ es creciente.
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a > 0$ |
||
Signo de $f : x \mapsto ax + b$ con $a \neq 0$
Si $a < 0$ entonces \quad $ax + b > 0$
$$\iff ax > -b$$
$$\iff x < -\dfrac{b}{a} \quad (\text{porque } \color{red}{a < 0}\color{black}{)}$$
Si $a > 0$ entonces \quad $ax + b > 0$
$$\iff ax > -b$$
$$\iff x > -\dfrac{b}{a} \quad (\text{porque } \color{red}{a > 0}\color{black}{)}$$
Propiedad 2: Tabla resumen de una función afín
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{-b}{a}$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a < 0$ |
|||
| Signo de $ax + b$ | $+$ | 0 | $-$ |
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{-b}{a}$ | $+\infty$ |
|
$f(x) = ax + b$ $a > 0$ |
|||
| Signo de $ax + b$ | $-$ | 0 | $+$ |