Généralités sur les fonctions
Au collège, on appelle fonction $f$ une relation mathématique qui à un nombre $x$ associe le nombre $f(x)$.
On note $f : x \mapsto f(x)$ qui se lit « la fonction $f$ qui à $x$ associe $f(x)$ ».
Le nombre $x$ s'appelle la variable. En effet, c'est en faisant varier ce nombre que l'on va calculer les différentes valeurs $f(x)$.
I - Domaine de définition
Définition 1 : On appelle fonction réelle $f$, une relation entre 2 ensembles de réels D et F telle que, à chaque élément de D, on associe un unique élément de F. On note :
$$f : D \to F \\ x \mapsto f(x)$$
Vocabulaire :
- $x$ est appelé antécédent de $f(x)$.
- $f(x)$ est appelé image de $x$.
- D est appelé domaine de définition de $f$.
Quelques fonctions de référence et leur domaine de définition :
- La fonction affine $x \mapsto ax + b, a, b \in \mathbb{R}$ est définie sur $\mathbb{R}$ (si $b = 0$, on dit que la fonction est linéaire).
- La fonction carré $x \mapsto x^2$ est définie sur $\mathbb{R}$.
- La fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est définie sur $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ (le nombre $0$ n'a pas d'inverse).
- La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ (la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas).
Remarque : Selon les besoins, on pourra restreindre l'étendue du domaine de définition d'une fonction.
II - Courbe représentative
Un intérêt des fonctions, c'est que l'on peut les associer à des courbes.
Définition 2 : On appelle courbe représentative de la fonction $f$ l'ensemble
$$C_f = \{M(x, y), x \in D, y \in F \text{ tel que } y = f(x)\}$$
Remarque :
- On dit aussi que la courbe $C_f$ a pour équation $y = f(x)$.
- Pour tracer l'allure de la courbe représentative d'une fonction sur un intervalle donné, on calcule les coordonnées d'un nombre suffisant de points de la courbe puis on les relie (sans règle).
Quelques courbes de référence :
Fonction affine
$y = 2x + 1$
Fonction carré
$y = x^2$
Fonction inverse
$y = \dfrac{1}{x}$
Fonction racine carrée
$y = \sqrt{x}$
III - Lectures graphiques
Lecture graphique d'image et d'antécédents
Ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction $f : x \mapsto x^3 + x^2 - 2x + 1$ définie sur $D = [-3 ; 2]$.
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Lire graphiquement une image
L'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse $-2,5$ est environ $-3,5$.
Ce qui signifie que l'image de $-2,5$ par $f$ est environ $-3,5$ donc $f(-2,5) \approx -3,5$.
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Lire graphiquement des antécédents
Trois points de la courbe $C_f$ ont pour ordonnée $2$.
Leurs abscisses respectives sont environ $-1,8 ; -0,45 ; 1,25$.
Les antécédents de $2$ par $f$ sont donc environ $-1,8 ; -0,45 ; 1,25$
donc $f(-1,8) \approx 2 ; f(-0,45) \approx 2 ; f(1,25) \approx 2$.
Aucun point de la courbe $C_f$ n'a une ordonnée égale à $-11,2$ donc $-11,2$ n'a pas d'antécédent par $f$.
Remarque :
- Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = k$ revient à lire graphiquement les antécédents de $k$ par la fonction $f$.
- Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > k$ revient à lire graphiquement les abscisses des points de la courbe représentative de $f$ ayant une ordonnée strictement supérieure à $k$.
IV - Étude d'une fonction
1 - Sens de variation
Sur un graphique, lorsque la courbe monte, on dit que la fonction est croissante et lorsque la courbe descend, on dit que la fonction est décroissante.
Lecture graphique du sens de variation
Dans l'exemple précédent, par lecture graphique :
$$$f$ est croissante sur $[-3 ; -1,25] \cup [0,5 ; 2]$ et décroissante sur $[-1,25 ; 0,5]$.$$
Pour étudier le sens de variation d'une fonction, il faut une interprétation mathématique de ces observations.
Sens de variation d'une fonction
$C_f$ monte signifie que la fonction $f$ est croissante.
Soit $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$ deux points de $C_f$, on observe que si $x_1 \le x_2$ alors $f(x_1) \le f(x_2)$.
$C_g$ descend signifie que la fonction $g$ est décroissante.
Soit $(x_1, g(x_1))$ et $(x_2, g(x_2))$ deux points de $C_g$, on observe que si $x_1 \le x_2$ alors $g(x_1) \ge g(x_2)$.
Définition 3 : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.
- On dit que la fonction $f$ est croissante sur I, lorsque pour tous réels $x_1$ et $x_2$ de I,
$$si $x_1 \le x_2$ alors $f(x_1) \le f(x_2)$$$
- On dit que la fonction $f$ est décroissante sur I, lorsque pour tous réels $x_1$ et $x_2$ de I,
$$si $x_1 \le x_2$ alors $f(x_1) \ge f(x_2)$$$
Remarque :
Le sens de variation d'une fonction s'étudie localement c'est à dire que $x_1$ et $x_2$ sont très proches. Il faut donc que la fonction $f$ soit définie sur $[x_1 ; x_2]$. C'est pour cela que dans la définition, on impose à la fonction $f$ d'être définie sur un intervalle I contenant $x_1$ et $x_2$.
2 - Maximum et minimum d'une fonction
Définition 4 : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I et $a$ un réel appartenant à I.
- On dit que $f(a)$ est le maximum de la fonction $f$ sur I, lorsque :
$$pour tout réel $x$ de I, $f(x) \le f(a)$$$
- On dit que $f(a)$ est le minimum de la fonction $f$ sur I, lorsque :
$$pour tout réel $x$ de I, $f(x) \ge f(a)$$$
Lecture graphique des extremums
Dans l'exemple précédent, par lecture graphique :
- Le minimum de $f$ sur D est $f(-3) = -11$ et le maximum de $f$ sur D est $f(2) = 9$.
- Le maximum de $f$ sur $[-2 ; 0]$ est $f(-1,25) \approx 3$.
3 - Tableau de variation d'une fonction
Le tableau de variation d'une fonction résume l'étude d'une fonction sur son domaine de définition.
Tableau de variation
Pour l'exemple précédent, on obtient le tableau suivant :
| $x$ | $-3$ | $-1,25$ | $0,5$ | $2$ |
| $f(x)$ | $-11$ | $3$ | $0,4$ | $9$ |
Une flèche montante indique que la fonction est croissante, et une flèche descendante indique que la fonction est décroissante.
Tableau de variation et valeur interdite
La fonction inverse $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est définie sur $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$.
On place une double barre dans le tableau de variation pour indiquer que $0$ n'a pas d'image.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ |
| $f(x) = \dfrac{1}{x}$ |
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General information on functions
In middle school, a function $f$ is a mathematical relationship that associates a number $x$ with the number $f(x)$.
We write $f : x \mapsto f(x)$ which reads « the function $f$ which associates $x$ with $f(x)$ ».
The number $x$ is called the variable. Indeed, it is by varying this number that we will calculate the different values $f(x)$.
I - Domain of definition
Definition 1: A real function $f$ is a relation between 2 sets of real numbers D and F such that, to each element of D, we associate a unique element of F. We write:
$$f : D \to F \\ x \mapsto f(x)$$
Vocabulary:
- $x$ is called the preimage of $f(x)$.
- $f(x)$ is called the image of $x$.
- D is called the domain of definition of $f$.
Some reference functions and their domain of definition:
- The affine function $x \mapsto ax + b, a, b \in \mathbb{R}$ is defined on $\mathbb{R}$ (if $b = 0$, we say the function is linear).
- The square function $x \mapsto x^2$ is defined on $\mathbb{R}$.
- The inverse function $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ is defined on $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ (the number $0$ has no inverse).
- The square root function $x \mapsto \sqrt{x}$ is defined on $[0 ; +\infty[$ (the square root of a negative number does not exist).
Note: Depending on the needs, we may restrict the extent of the domain of definition of a function.
II - Representative curve
One interest of functions is that they can be associated with curves.
Definition 2: We call representative curve of the function $f$ the set
$$C_f = \{M(x, y), x \in D, y \in F \text{ such that } y = f(x)\}$$
Note:
- We also say that the curve $C_f$ has for equation $y = f(x)$.
- To draw the shape of the representative curve of a function over a given interval, we calculate the coordinates of a sufficient number of points of the curve then we connect them (without a ruler).
Some reference curves:
Affine function
$y = 2x + 1$
Square function
$y = x^2$
Inverse function
$y = \dfrac{1}{x}$
Square root function
$y = \sqrt{x}$
III - Graphical readings
Graphical reading of image and preimages
Below, we plotted the representative curve of the function $f : x \mapsto x^3 + x^2 - 2x + 1$ defined on $D = [-3 ; 2]$.
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Read an image graphically
The ordinate of the point on the curve $C_f$ with abscissa $-2.5$ is about $-3.5$.
Which means that the image of $-2.5$ by $f$ is about $-3.5$ so $f(-2.5) \approx -3.5$.
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Read preimages graphically
Three points on the curve $C_f$ have an ordinate of $2$.
Their respective abscissas are about $-1.8 ; -0.45 ; 1.25$.
The preimages of $2$ by $f$ are therefore about $-1.8 ; -0.45 ; 1.25$
so $f(-1.8) \approx 2 ; f(-0.45) \approx 2 ; f(1.25) \approx 2$.
No point on the curve $C_f$ has an ordinate equal to $-11.2$ so $-11.2$ has no preimage by $f$.
Note:
- Solving graphically the equation $f(x) = k$ amounts to reading graphically the preimages of $k$ by the function $f$.
- Solving graphically the inequality $f(x) > k$ amounts to reading graphically the abscissas of the points on the representative curve of $f$ having a strictly greater ordinate than $k$.
IV - Study of a function
1 - Direction of variation
On a graph, when the curve goes up, the function is said to be increasing and when the curve goes down, the function is said to be decreasing.
Graphical reading of the direction of variation
In the previous example, by graphical reading:
$$$f$ is increasing on $[-3 ; -1.25] \cup [0.5 ; 2]$ and decreasing on $[-1.25 ; 0.5]$.$$
To study the direction of variation of a function, a mathematical interpretation of these observations is needed.
Direction of variation of a function
$C_f$ goes up means that the function $f$ is increasing.
Let $(x_1, f(x_1))$ and $(x_2, f(x_2))$ be two points on $C_f$, we observe that if $x_1 \le x_2$ then $f(x_1) \le f(x_2)$.
$C_g$ goes down means that the function $g$ is decreasing.
Let $(x_1, g(x_1))$ and $(x_2, g(x_2))$ be two points on $C_g$, we observe that if $x_1 \le x_2$ then $g(x_1) \ge g(x_2)$.
Definition 3: Let $f$ be a function defined on an interval I.
- We say that the function $f$ is increasing on I, when for all real numbers $x_1$ and $x_2$ in I,
$$if $x_1 \le x_2$ then $f(x_1) \le f(x_2)$$$
- We say that the function $f$ is decreasing on I, when for all real numbers $x_1$ and $x_2$ in I,
$$if $x_1 \le x_2$ then $f(x_1) \ge f(x_2)$$$
Note:
The direction of variation of a function is studied locally, meaning $x_1$ and $x_2$ are very close. It is therefore necessary that the function $f$ be defined on $[x_1 ; x_2]$. This is why in the definition, we require the function $f$ to be defined on an interval I containing $x_1$ and $x_2$.
2 - Maximum and minimum of a function
Definition 4: Let $f$ be a function defined on an interval I and $a$ be a real number belonging to I.
- We say that $f(a)$ is the maximum of the function $f$ on I, when:
$$for all real numbers $x$ in I, $f(x) \le f(a)$$$
- We say that $f(a)$ is the minimum of the function $f$ on I, when:
$$for all real numbers $x$ in I, $f(x) \ge f(a)$$$
Graphical reading of extremums
In the previous example, by graphical reading:
- The minimum of $f$ on D is $f(-3) = -11$ and the maximum of $f$ on D is $f(2) = 9$.
- The maximum of $f$ on $[-2 ; 0]$ is $f(-1.25) \approx 3$.
3 - Variation table of a function
The variation table of a function summarizes the study of a function over its domain of definition.
Variation table
For the previous example, we obtain the following table:
| $x$ | $-3$ | $-1,25$ | $0,5$ | $2$ |
| $f(x)$ | $-11$ | $3$ | $0,4$ | $9$ |
An upward arrow indicates that the function is increasing, and a downward arrow indicates that the function is decreasing.
Variation table and forbidden value
The inverse function $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ is defined on $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$.
We place a double bar in the variation table to indicate that $0$ has no image.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ |
| $f(x) = \dfrac{1}{x}$ |
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Generalidades sobre las funciones
En el colegio, una función $f$ es una relación matemática que a un número $x$ le asocia el número $f(x)$.
Escribimos $f : x \mapsto f(x)$ que se lee « la función $f$ que asocia $x$ con $f(x)$ ».
El número $x$ se llama la variable. En efecto, es variando este número que calcularemos los diferentes valores $f(x)$.
I - Dominio de definición
Definición 1: Una función real $f$ es una relación entre 2 conjuntos de números reales D y F tal que, a cada elemento de D, le asociamos un único elemento de F. Anotamos:
$$f : D \to F \\ x \mapsto f(x)$$
Vocabulario:
- $x$ se llama el antecedente de $f(x)$.
- $f(x)$ se llama la imagen de $x$.
- D se llama el dominio de definición de $f$.
Algunas funciones de referencia y su dominio de definición:
- La función afín $x \mapsto ax + b, a, b \in \mathbb{R}$ está definida en $\mathbb{R}$ (si $b = 0$, decimos que la función es lineal).
- La función cuadrado $x \mapsto x^2$ está definida en $\mathbb{R}$.
- La función inversa $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ está definida en $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ (el número $0$ no tiene inverso).
- La función raíz cuadrada $x \mapsto \sqrt{x}$ está definida en $[0 ; +\infty[$ (la raíz cuadrada de un número negativo no existe).
Nota: Dependiendo de las necesidades, podemos restringir la extensión del dominio de definición de una función.
II - Curva representativa
Un interés de las funciones es que se pueden asociar a curvas.
Definición 2: Llamamos curva representativa de la función $f$ al conjunto
$$C_f = \{M(x, y), x \in D, y \in F \text{ tal que } y = f(x)\}$$
Nota:
- También se dice que la curva $C_f$ tiene por ecuación $y = f(x)$.
- Para trazar la forma de la curva representativa de una función en un intervalo dado, calculamos las coordenadas de un número suficiente de puntos de la curva y luego los unimos (sin regla).
Algunas curvas de referencia:
Función afín
$y = 2x + 1$
Función cuadrado
$y = x^2$
Función inversa
$y = \dfrac{1}{x}$
Función raíz cuadrada
$y = \sqrt{x}$
III - Lecturas gráficas
Lectura gráfica de imagen y antecedentes
A continuación, trazamos la curva representativa de la función $f : x \mapsto x^3 + x^2 - 2x + 1$ definida en $D = [-3 ; 2]$.
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Leer una imagen gráficamente
La ordenada del punto en la curva $C_f$ con abscisa $-2,5$ es aproximadamente $-3,5$.
Lo que significa que la imagen de $-2,5$ por $f$ es aproximadamente $-3,5$ así que $f(-2,5) \approx -3,5$.
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Leer antecedentes gráficamente
Tres puntos en la curva $C_f$ tienen una ordenada de $2$.
Sus respectivas abscisas son aproximadamente $-1,8 ; -0,45 ; 1,25$.
Los antecedentes de $2$ por $f$ son por tanto aproximadamente $-1,8 ; -0,45 ; 1,25$
así que $f(-1,8) \approx 2 ; f(-0,45) \approx 2 ; f(1,25) \approx 2$.
Ningún punto de la curva $C_f$ tiene una ordenada igual a $-11,2$ por lo que $-11,2$ no tiene antecedente por $f$.
Nota:
- Resolver gráficamente la ecuación $f(x) = k$ equivale a leer gráficamente los antecedentes de $k$ por la función $f$.
- Resolver gráficamente la inecuación $f(x) > k$ equivale a leer gráficamente las abscisas de los puntos de la curva representativa de $f$ que tienen una ordenada estrictamente mayor que $k$.
IV - Estudio de una función
1 - Sentido de variación
En un gráfico, cuando la curva sube, se dice que la función es creciente y cuando la curva baja, se dice que la función es decreciente.
Lectura gráfica del sentido de variación
En el ejemplo anterior, por lectura gráfica:
$$$f$ es creciente en $[-3 ; -1,25] \cup [0,5 ; 2]$ y decreciente en $[-1,25 ; 0,5]$.$$
Para estudiar el sentido de variación de una función, se necesita una interpretación matemática de estas observaciones.
Sentido de variación de una función
Que $C_f$ suba significa que la función $f$ es creciente.
Sean $(x_1, f(x_1))$ y $(x_2, f(x_2))$ dos puntos de $C_f$, observamos que si $x_1 \le x_2$ entonces $f(x_1) \le f(x_2)$.
Que $C_g$ baje significa que la función $g$ es decreciente.
Sean $(x_1, g(x_1))$ y $(x_2, g(x_2))$ dos puntos de $C_g$, observamos que si $x_1 \le x_2$ entonces $g(x_1) \ge g(x_2)$.
Definición 3: Sea $f$ una función definida en un intervalo I.
- Se dice que la función $f$ es creciente en I, cuando para todos los números reales $x_1$ y $x_2$ en I,
$$si $x_1 \le x_2$ entonces $f(x_1) \le f(x_2)$$$
- Se dice que la función $f$ es decreciente en I, cuando para todos los números reales $x_1$ y $x_2$ en I,
$$si $x_1 \le x_2$ entonces $f(x_1) \ge f(x_2)$$$
Nota:
El sentido de variación de una función se estudia localmente, es decir, $x_1$ y $x_2$ están muy cerca. Por tanto, es necesario que la función $f$ esté definida en $[x_1 ; x_2]$. Por eso, en la definición, exigimos que la función $f$ esté definida en un intervalo I que contenga a $x_1$ y $x_2$.
2 - Máximo y mínimo de una función
Definición 4: Sea $f$ una función definida en un intervalo I y $a$ un número real perteneciente a I.
- Decimos que $f(a)$ es el máximo de la función $f$ en I, cuando:
$$para todo real $x$ de I, $f(x) \le f(a)$$$
- Decimos que $f(a)$ es el mínimo de la función $f$ en I, cuando:
$$para todo real $x$ de I, $f(x) \ge f(a)$$$
Lectura gráfica de los extremos
En el ejemplo anterior, por lectura gráfica:
- El mínimo de $f$ en D es $f(-3) = -11$ y el máximo de $f$ en D es $f(2) = 9$.
- El máximo de $f$ en $[-2 ; 0]$ es $f(-1,25) \approx 3$.
3 - Tabla de variación de una función
La tabla de variación de una función resume el estudio de una función en su dominio de definición.
Tabla de variación
Para el ejemplo anterior, obtenemos la siguiente tabla:
| $x$ | $-3$ | $-1,25$ | $0,5$ | $2$ |
| $f(x)$ | $-11$ | $3$ | $0,4$ | $9$ |
Una flecha hacia arriba indica que la función es creciente, y una flecha hacia abajo indica que la función es decreciente.
Tabla de variación y valor prohibido
La función inversa $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ está definida en $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$.
Colocamos una barra doble en la tabla de variación para indicar que $0$ no tiene imagen.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ |
| $f(x) = \dfrac{1}{x}$ |
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