Inéquations quotient à une inconnue
Propriété 1 :
- Le quotient de 2 réels de même signe est positif.
- Le quotient de 2 réels de signes contraires est négatif.
Méthode : Résolution d'une inéquation quotient
$$Résolution de l'inéquation $\dfrac{x + 1}{x + 2} < \dfrac{x - 1}{x - 2} \quad \text{dans } \mathbb{R}$$$
1 - On détermine les valeurs interdites
$$x + 2 = 0 \quad \text{et} \quad x - 2 = 0$$
$$\color{red}{x = -2} \quad \text{et} \quad \color{red}{x = 2}$$
2 - On regroupe tous les termes dans un même membre
$$\dfrac{x + 1}{x + 2} - \dfrac{x - 1}{x - 2} < 0$$
3 - On met toutes les fractions sur le même dénominateur
$$\dfrac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} < 0$$
$$\dfrac{(x + 1)(x - 2) - (x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
4 - On factorise le numérateur à l'aide d'une égalité remarquable
(ou on développe si aucune factorisation n'est possible)
$$\dfrac{x^2 + x - 2x - 2 - (x^2 - x + 2x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
$$\dfrac{\cancel{x^2} + x - 2x - \cancel{2} - \cancel{x^2} + x - 2x + \cancel{2}}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
$$\dfrac{-2x}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
5 - On calcule les racines du numérateur
$$-2x = 0$$
$$\color{blue}{x = 0}$$
6 - On fait un tableau de signes
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $+\infty$ | ||
| $a = 1 > 0$ $x + 2$ | $-$ | 0 | $+$ | $+$ | $+$ | ||
| $a = 1 > 0$ $x - 2$ | $-$ | $-$ | $-$ | 0 | $+$ | ||
| $a = -2 < 0$ $-2x$ | $+$ | $+$ | 0 | $-$ | $-$ | ||
| $\dfrac{{-2x}}{{(x + 2)(x - 2)}}$ | $+$ |
|
$-$ | 0 | $+$ |
|
$-$ |
7 - On donne l'ensemble des solutions :
$$S = ]-2 ; 0[ \cup ]2 ; +\infty[$$
Rational inequalities with one unknown
Property 1:
- The quotient of 2 real numbers with the same sign is positive.
- The quotient of 2 real numbers with opposite signs is negative.
Method: Solving a rational inequality
$$Resolution of the inequality $\dfrac{x + 1}{x + 2} < \dfrac{x - 1}{x - 2} \quad \text{in } \mathbb{R}$$$
1 - We determine the forbidden values
$$x + 2 = 0 \quad \text{and} \quad x - 2 = 0$$
$$\color{red}{x = -2} \quad \text{and} \quad \color{red}{x = 2}$$
2 - We group all terms on the same side
$$\dfrac{x + 1}{x + 2} - \dfrac{x - 1}{x - 2} < 0$$
3 - We put all fractions over a common denominator
$$\dfrac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} < 0$$
$$\dfrac{(x + 1)(x - 2) - (x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
4 - We factor the numerator using a remarkable identity
(or we expand if no factorization is possible)
$$\dfrac{x^2 + x - 2x - 2 - (x^2 - x + 2x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
$$\dfrac{\cancel{x^2} + x - 2x - \cancel{2} - \cancel{x^2} + x - 2x + \cancel{2}}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
$$\dfrac{-2x}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
5 - We calculate the roots of the numerator
$$-2x = 0$$
$$\color{blue}{x = 0}$$
6 - We make a sign table
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $+\infty$ | ||
| $a = 1 > 0$ $x + 2$ | $-$ | 0 | $+$ | $+$ | $+$ | ||
| $a = 1 > 0$ $x - 2$ | $-$ | $-$ | $-$ | 0 | $+$ | ||
| $a = -2 < 0$ $-2x$ | $+$ | $+$ | 0 | $-$ | $-$ | ||
| $\dfrac{{-2x}}{{(x + 2)(x - 2)}}$ | $+$ |
|
$-$ | 0 | $+$ |
|
$-$ |
7 - We give the set of solutions:
$$S = ]-2 ; 0[ \cup ]2 ; +\infty[$$
Inecuaciones racionales con una incógnita
Propiedad 1:
- El cociente de 2 números reales del mismo signo es positivo.
- El cociente de 2 números reales de signos opuestos es negativo.
Método: Resolución de una inecuación racional
$$Resolución de la inecuación $\dfrac{x + 1}{x + 2} < \dfrac{x - 1}{x - 2} \quad \text{en } \mathbb{R}$$$
1 - Determinamos los valores prohibidos
$$x + 2 = 0 \quad \text{y} \quad x - 2 = 0$$
$$\color{red}{x = -2} \quad \text{y} \quad \color{red}{x = 2}$$
2 - Agrupamos todos los términos en un mismo miembro
$$\dfrac{x + 1}{x + 2} - \dfrac{x - 1}{x - 2} < 0$$
3 - Ponemos todas las fracciones bajo el mismo denominador
$$\dfrac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} < 0$$
$$\dfrac{(x + 1)(x - 2) - (x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
4 - Factorizamos el numerador utilizando una identidad notable
(o desarrollamos si ninguna factorización es posible)
$$\dfrac{x^2 + x - 2x - 2 - (x^2 - x + 2x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
$$\dfrac{\cancel{x^2} + x - 2x - \cancel{2} - \cancel{x^2} + x - 2x + \cancel{2}}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
$$\dfrac{-2x}{(x + 2)(x - 2)} < 0$$
5 - Calculamos las raíces del numerador
$$-2x = 0$$
$$\color{blue}{x = 0}$$
6 - Hacemos una tabla de signos
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $+\infty$ | ||
| $a = 1 > 0$ $x + 2$ | $-$ | 0 | $+$ | $+$ | $+$ | ||
| $a = 1 > 0$ $x - 2$ | $-$ | $-$ | $-$ | 0 | $+$ | ||
| $a = -2 < 0$ $-2x$ | $+$ | $+$ | 0 | $-$ | $-$ | ||
| $\dfrac{{-2x}}{{(x + 2)(x - 2)}}$ | $+$ |
|
$-$ | 0 | $+$ |
|
$-$ |
7 - Damos el conjunto de soluciones:
$$S = ]-2 ; 0[ \cup ]2 ; +\infty[$$