Équations quotient à une inconnue
On appelle équation quotient une équation contenant des fractions où l'inconnue est présente au dénominateur.
Ce qui change dans ce cas, c'est qu'il faut exclure de l'ensemble des solutions certaines valeurs de l'inconnue qui annulent le dénominateur d'une fraction présente dans l'équation. On appelle ces valeurs des valeurs interdites.
Propriété 1 : Si $a$ et $b$ sont des réels tels que $b \neq 0$ alors :
$$\dfrac{a}{b} = 0 \iff a = 0$$
Méthode : Résolution d'une équation quotient
$$Résolution de l'équation $\dfrac{3x + 1}{1 - x} = \dfrac{1}{x + 1}$$$
1 - On détermine les valeurs interdites
$$1 - x = 0 \quad \text{et} \quad x + 1 = 0$$
$$\color{red}{x = 1} \quad \text{et} \quad \color{red}{x = -1}$$
2 - On regroupe tous les termes dans un même membre
$$\dfrac{3x + 1}{1 - x} - \dfrac{1}{x + 1} = 0$$
3 - On met toutes les fractions sur le même dénominateur
$$\dfrac{(3x + 1)(x + 1)}{(1 - x)(x + 1)} - \dfrac{1(1 - x)}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
$$\dfrac{(3x + 1)(x + 1) - 1(1 - x)}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
4 - On factorise le numérateur à l'aide d'une égalité remarquable
(ou on développe puis on réduit si aucune factorisation n'est possible)
$$\dfrac{3x^2 + x + 3x + 1 - 1 + x}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
$$\dfrac{3x^2 + 5x}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
$$\dfrac{x(3x + 5)}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
5 - On calcule les racines du numérateur
$$x = 0 \quad \text{ou} \quad 3x + 5 = 0$$
$$x = -\dfrac{5}{3}$$
6 - On élimine les valeurs interdites éventuelles des racines obtenues à l'étape 5
$0$ et $-\dfrac{5}{3}$ ne sont pas des valeurs interdites.
7 - On donne l'ensemble des solutions
$$S = \left\{ 0 ; -\dfrac{5}{3} \right\}$$
Rational equations with one unknown
A rational equation is an equation containing fractions where the unknown is present in the denominator.
What changes in this case is that we must exclude from the set of solutions certain values of the unknown that make the denominator of any fraction in the equation zero. These values are called forbidden values.
Property 1: If $a$ and $b$ are real numbers such that $b \neq 0$ then:
$$\dfrac{a}{b} = 0 \iff a = 0$$
Method: Solving a rational equation
$$Resolution of the equation $\dfrac{3x + 1}{1 - x} = \dfrac{1}{x + 1}$$$
1 - We determine the forbidden values
$$1 - x = 0 \quad \text{and} \quad x + 1 = 0$$
$$\color{red}{x = 1} \quad \text{and} \quad \color{red}{x = -1}$$
2 - We group all terms on the same side
$$\dfrac{3x + 1}{1 - x} - \dfrac{1}{x + 1} = 0$$
3 - We put all fractions over a common denominator
$$\dfrac{(3x + 1)(x + 1)}{(1 - x)(x + 1)} - \dfrac{1(1 - x)}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
$$\dfrac{(3x + 1)(x + 1) - 1(1 - x)}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
4 - We factor the numerator using a remarkable identity
(or we expand and then simplify if no factorization is possible)
$$\dfrac{3x^2 + x + 3x + 1 - 1 + x}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
$$\dfrac{3x^2 + 5x}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
$$\dfrac{x(3x + 5)}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
5 - We calculate the roots of the numerator
$$x = 0 \quad \text{or} \quad 3x + 5 = 0$$
$$x = -\dfrac{5}{3}$$
6 - We eliminate any forbidden values from the roots obtained in step 5
$0$ and $-\dfrac{5}{3}$ are not forbidden values.
7 - We give the set of solutions
$$S = \left\{ 0 ; -\dfrac{5}{3} \right\}$$
Ecuaciones racionales con una incógnita
Una ecuación racional es una ecuación que contiene fracciones donde la incógnita está presente en el denominador.
Lo que cambia en este caso es que debemos excluir del conjunto de soluciones ciertos valores de la incógnita que anulan el denominador de cualquier fracción presente en la ecuación. Estos valores se denominan valores prohibidos.
Propiedad 1: Si $a$ y $b$ son números reales tales que $b \neq 0$ entonces:
$$\dfrac{a}{b} = 0 \iff a = 0$$
Método: Resolución de una ecuación racional
$$Resolución de la ecuación $\dfrac{3x + 1}{1 - x} = \dfrac{1}{x + 1}$$$
1 - Determinamos los valores prohibidos
$$1 - x = 0 \quad \text{y} \quad x + 1 = 0$$
$$\color{red}{x = 1} \quad \text{y} \quad \color{red}{x = -1}$$
2 - Agrupamos todos los términos en un mismo miembro
$$\dfrac{3x + 1}{1 - x} - \dfrac{1}{x + 1} = 0$$
3 - Ponemos todas las fracciones bajo un denominador común
$$\dfrac{(3x + 1)(x + 1)}{(1 - x)(x + 1)} - \dfrac{1(1 - x)}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
$$\dfrac{(3x + 1)(x + 1) - 1(1 - x)}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
4 - Factorizamos el numerador utilizando una identidad notable
(o desarrollamos y luego reducimos si no es posible la factorización)
$$\dfrac{3x^2 + x + 3x + 1 - 1 + x}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
$$\dfrac{3x^2 + 5x}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
$$\dfrac{x(3x + 5)}{(x + 1)(1 - x)} = 0$$
5 - Calculamos las raíces del numerador
$$x = 0 \quad \text{o} \quad 3x + 5 = 0$$
$$x = -\dfrac{5}{3}$$
6 - Eliminamos cualquier valor prohibido de las raíces obtenidas en el paso 5
$0$ y $-\dfrac{5}{3}$ no son valores prohibidos.
7 - Damos el conjunto de soluciones
$$S = \left\{ 0 ; -\dfrac{5}{3} \right\}$$