Systèmes de deux équations à deux inconnues
I - Méthode de résolution par combinaison
On multiplie les 2 membres de chaque équation du système par un nombre de telle façon que lorsqu'on additionne membre à membre les 2 équations du système, on élimine une des deux inconnues.
Méthode : Résoudre un système par combinaison
On choisit, par exemple, d'éliminer l'inconnue $y$ :
On multiplie $(E_1)$ par $4$, et on multiplie $(E_2)$ par $5$. On obtient :
On additionne les 2 équations membre à membre. On résout l'équation obtenue. On obtient :
$$8x + 15x \cancel{- 20y} + \cancel{20y} = 48 - 25 \quad \text{donc} \quad 23x = 23$$
$$x = \dfrac{23}{23} = 1$$
On remplace $x$ par sa valeur dans $(E_1)$ ou $(E_2)$. Avec $(E_1)$, on obtient :
$$2 \times 1 - 5y = 12 \quad \text{donc} \quad -5y = 10$$
$$y = \dfrac{10}{-5} = -2$$
II - Méthode de résolution par substitution
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une des 2 équations du système puis on remplace cette inconnue par cette valeur dans l'autre équation.
Cette méthode sera utilisée de préférence lorsqu'une des 2 inconnues a un coefficient $1$ ou $-1$.
Méthode : Résoudre un système par substitution
On choisit, par exemple, d'exprimer $x$ en fonction de $y$ dans $(E_1)$ puis on remplace $x$ dans $(E_2)$ par cette valeur. On obtient :
On résout l'équation d'inconnue $y$ obtenue. On obtient :
$$2 \times 2 - 2 \times 3y - y = -1 \quad \text{donc} \quad 4 - 7y = -1 \quad \text{donc} \quad -7y = -5$$
$$y = \dfrac{-5}{-7} = \dfrac{5}{7}$$
On remplace $y$ par sa valeur dans $(E_1)$. On obtient :
$$x + 3 \times \dfrac{5}{7} = 2$$
$$x = 2 - \dfrac{15}{7}$$
$$x = \dfrac{14}{7} - \dfrac{15}{7} = -\dfrac{1}{7}$$
Systems of two equations with two unknowns
I - Solving method by elimination (combination)
We multiply the 2 sides of each equation in the system by a number such that when we add the 2 equations of the system side by side, one of the two unknowns is eliminated.
Method: Solve a system by elimination
We choose, for example, to eliminate the unknown $y$:
We multiply $(E_1)$ by $4$, and we multiply $(E_2)$ by $5$. We obtain:
We add the 2 equations side by side. We solve the resulting equation. We obtain:
$$8x + 15x \cancel{- 20y} + \cancel{20y} = 48 - 25 \quad \text{so} \quad 23x = 23$$
$$x = \dfrac{23}{23} = 1$$
We substitute $x$ with its value in $(E_1)$ or $(E_2)$. Using $(E_1)$, we obtain:
$$2 \times 1 - 5y = 12 \quad \text{so} \quad -5y = 10$$
$$y = \dfrac{10}{-5} = -2$$
II - Solving method by substitution
We express one unknown in terms of the other in one of the 2 equations of the system, then we substitute this unknown with this value in the other equation.
This method is preferably used when one of the 2 unknowns has a coefficient of $1$ or $-1$.
Method: Solve a system by substitution
We choose, for example, to express $x$ in terms of $y$ in $(E_1)$ then we substitute $x$ in $(E_2)$ with this value. We obtain:
We solve the resulting equation for the unknown $y$. We obtain:
$$2 \times 2 - 2 \times 3y - y = -1 \quad \text{so} \quad 4 - 7y = -1 \quad \text{so} \quad -7y = -5$$
$$y = \dfrac{-5}{-7} = \dfrac{5}{7}$$
We substitute $y$ with its value in $(E_1)$. We obtain:
$$x + 3 \times \dfrac{5}{7} = 2$$
$$x = 2 - \dfrac{15}{7}$$
$$x = \dfrac{14}{7} - \dfrac{15}{7} = -\dfrac{1}{7}$$
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
I - Método de resolución por reducción (combinación)
Multiplicamos los 2 miembros de cada ecuación del sistema por un número de tal forma que al sumar miembro a miembro las 2 ecuaciones del sistema, eliminamos una de las dos incógnitas.
Método: Resolver un sistema por reducción
Elegimos, por ejemplo, eliminar la incógnita $y$:
Multiplicamos $(E_1)$ por $4$, y multiplicamos $(E_2)$ por $5$. Obtenemos:
Sumamos las 2 ecuaciones miembro a miembro. Resolvemos la ecuación obtenida. Obtenemos:
$$8x + 15x \cancel{- 20y} + \cancel{20y} = 48 - 25 \quad \text{entonces} \quad 23x = 23$$
$$x = \dfrac{23}{23} = 1$$
Sustituimos $x$ por su valor en $(E_1)$ o $(E_2)$. Con $(E_1)$, obtenemos:
$$2 \times 1 - 5y = 12 \quad \text{entonces} \quad -5y = 10$$
$$y = \dfrac{10}{-5} = -2$$
II - Método de resolución por sustitución
Expresamos una incógnita en función de la otra en una de las 2 ecuaciones del sistema, luego sustituimos esta incógnita por este valor en la otra ecuación.
Este método se utilizará preferentemente cuando una de las 2 incógnitas tenga un coeficiente de $1$ o $-1$.
Método: Resolver un sistema por sustitución
Elegimos, por ejemplo, expresar $x$ en función de $y$ en $(E_1)$ y luego sustituimos $x$ en $(E_2)$ por este valor. Obtenemos:
Resolvemos la ecuación de incógnita $y$ obtenida. Obtenemos:
$$2 \times 2 - 2 \times 3y - y = -1 \quad \text{entonces} \quad 4 - 7y = -1 \quad \text{entonces} \quad -7y = -5$$
$$y = \dfrac{-5}{-7} = \dfrac{5}{7}$$
Sustituimos $y$ por su valor en $(E_1)$. Obtenemos:
$$x + 3 \times \dfrac{5}{7} = 2$$
$$x = 2 - \dfrac{15}{7}$$
$$x = \dfrac{14}{7} - \dfrac{15}{7} = -\dfrac{1}{7}$$