Probabilité d'un évènement

1. Perdre sa mise correspond aux secteurs "0x". L'angle total de ces secteurs est $60 + 135 + 105 = 300^{\circ}$. La probabilité est proportionnelle à l'angle.
$p(\text{perdre}) = \frac{300}{360} = \frac{5 \times 60}{6 \times 60} = $ $\frac{5}{6}$.

2. Le secteur "3x" correspond à un angle de $7,5^{\circ}$.
$p(\text{gagner 3x}) = \frac{7,5}{360} = \frac{75}{3600} = \frac{1 \times 75}{48 \times 75} = $ $\frac{1}{48}$.

3. L'événement "gagner 2 fois sa mise" est l'événement contraire de "perdre ou gagner 3 fois sa mise". La somme des probabilités des trois événements est égale à 1.
$p(\text{gagner 2x}) = 1 - (p(\text{perdre}) + p(\text{gagner 3x})) = 1 - (\frac{5}{6} + \frac{1}{48}) = 1 - (\frac{40}{48} + \frac{1}{48}) = 1 - \frac{41}{48} = $ $\frac{7}{48}$.

On est dans une situation d'équiprobabilité. L'univers a 52 issues.

1. Il y a 4 as dans un jeu de 52 cartes. Soit A l'événement "Tirer un as".
$p(A) = \frac{\text{nombre d'as}}{\text{nombre total de cartes}} = \frac{4}{52} = $ $\frac{1}{13}$.

2. Il y a 13 cœurs dans le jeu. Soit B l'événement "Tirer un cœur".
$p(B) = \frac{13}{52} = $ $\frac{1}{4}$.

3. Il y a 12 figures (Valet, Dame, Roi de chaque couleur). Soit C l'événement "Tirer une figure".
$p(C) = \frac{12}{52} = $ $\frac{3}{13}$.

4. L'événement "Ne pas tirer une figure" est l'événement contraire de C, noté $\bar{C}$.
$p(\bar{C}) = 1 - p(C) = 1 - \frac{3}{13} = \frac{13}{13} - \frac{3}{13} = $ $\frac{10}{13}$.

1. L'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.

2. On est en situation d'équiprobabilité car le dé est "bien équilibré", ce qui signifie que chaque face a la même probabilité d'apparaître.

3.
Événement élémentaire : "Obtenir 1". Il n'a qu'une seule issue.
Événement impossible : "Obtenir 13". Il n'a aucune issue.
Événement à trois issues : "Obtenir 1, 2 ou 3".

4. Les multiples de 3 dans $\Omega$ sont $\{3, 6, 9, 12\}$. Il y a 4 issues favorables sur 12 issues possibles. Soit D l'événement "Obtenir un multiple de 3".
$p(D) = \frac{4}{12} = $ $\frac{1}{3}$.

Calcul de la probabilité de l'événement contraire de A :
$p(\bar{A}) = 1 - p(A) = 1 - 0,4 = $ $0,6$.

Calcul de la probabilité de l'union de A et B :
$p(A\cup B) = p(A) + p(B) - p(A\cap B) = 0,4 + 0,6 - 0,2 = $ $0,8$.

On est dans une situation d'équiprobabilité avec 12 issues possibles.

1. Il y a 5 boules rouges sur 12 au total.
$p(R) = \frac{\text{nombre de boules rouges}}{\text{nombre total de boules}} = $ $\frac{5}{12}$.

2. Soit V l'événement "Tirer une boule verte". On cherche $p(\bar{V})$.
La probabilité de tirer une boule verte est $p(V) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
La probabilité de ne pas tirer une boule verte est $p(\bar{V}) = 1 - p(V) = 1 - \frac{1}{4} = $ $\frac{3}{4}$.

3. L'événement A est l'union des événements "Tirer une boule rouge" (R) et "Tirer une boule bleue" (B). Ces deux événements sont incompatibles.
$p(A) = p(R \cup B) = p(R) + p(B) = \frac{5}{12} + \frac{4}{12} = \frac{9}{12} = $ $\frac{3}{4}$.