Taux d'évolution successifs et réciproque

1. On remonte le temps pour trouver le prix initial.

Prix en 2011 : $P_1 = P_2 - 9 = 99,73 - 9 = 90,73$ €.

Prix en 2010 : $P_1 = P_0 \times (1 + \frac{5,5}{100})$, donc $P_0 = \frac{P_1}{1,055} = \frac{90,73}{1,055} = 86$ €.

Le prix en 2010 était de 86 €.

2. On cherche le taux d'évolution réciproque pour passer de $P_2$ à $P_1$.

$T' = \frac{P_1 - P_2}{P_2} = \frac{90,73 - 99,73}{99,73} = \frac{-9}{99,73} \approx -0,09024$.

Il faut donc une baisse d'environ 9,02%.

1. Population en 1975 :

$P_{1975} = 180 943 \times (1 + \frac{9,6}{100}) = 180 943 \times 1,096 \approx$ 198 314 habitants.

2. Taux d'évolution entre 1968 et 1982 :

$T = \frac{194 656 - 180 943}{180 943} \approx 0,0758$. Le taux est d'environ 7,6%.

3. Taux d'évolution global entre 1982 et 2007 :

Le taux global $T$ est donné par $(1+T) = (1+T_1)(1+T_2)$.

$(1+T) = (1+0,045)(1+0,052) = 1,045 \times 1,052 = 1,09934$.

$T = 1,09934 - 1 = 0,09934$. Le taux global est d'environ 9,9%.

Société 1 :

Taux global : $(1+T) = (1+0,03)(1-0,05) = 1,03 \times 0,95 = 0,9785$. $T = -0,0215$, soit une baisse de 2,15%.

Société 2 :

Taux global : $(1+T') = (1-0,20)(1+0,22) = 0,8 \times 1,22 = 0,976$. $T' = -0,024$, soit une baisse de 2,4%.

La baisse globale est plus forte pour la société 2, donc le personnel est plus nombreux dans la société 1.

Le prix final $P_1$ est lié au prix initial $P_0$ par la relation : $P_1 = P_0 \times (1+T_1)(1+T_2)$.

$725,76 = P_0 \times (1+0,12)(1+0,08) = P_0 \times 1,12 \times 1,08 = P_0 \times 1,2096$.

On isole $P_0$ : $P_0 = \frac{725,76}{1,2096} = 600$.

Le prix initial était de 600 €.

Soit $T = +25\%$ le taux de l'augmentation initiale et $T'$ le taux de la baisse réciproque.

Pour revenir au prix initial, le taux d'évolution global doit être nul. $(1+T)(1+T') = 1$.

$(1+0,25)(1+T') = 1 \implies 1,25(1+T')=1$.

$1+T' = \frac{1}{1,25} = 0,8$.

$T' = 0,8 - 1 = -0,2$.

Il faut donc une baisse de 20%.