Equation réduite et coefficient directeur

1. L'équation est de la forme $y = -2x + p$. Le point $E(-3;-4)$ appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation :
$-4 = -2(-3) + p$ donc $-4 = 6 + p$ donc $p = -10$.
L'équation réduite est $y = -2x - 10$.

2. Pour obtenir une équation cartésienne, on regroupe tous les termes du même côté :
$y = -2x - 10$ donc $2x + y + 10 = 0$.
Une équation cartésienne est $2x + y + 10 = 0$.

3. Pour une droite de coefficient directeur $a=2$, l'équation réduite est de la forme $y=2x+p$.
Un vecteur directeur pour une droite d'équation $y=mx+p$ est $\vec{u}(1;m)$.
Ici, un vecteur directeur est $\vec{u}(1; 2)$.

1, 2a, 3a. Tracés des droites :

2b. L'équation de $(d_2)$ est $y = \frac{3}{2}x + p$. Elle passe par $(-1;1)$ :
$1 = \frac{3}{2}(-1) + p$ donc $1 = -\frac{3}{2} + p$ donc $p = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.
L'équation est $y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$.

3b. $(d_3)$ est parallèle à $(d_2)$, donc son coefficient directeur est aussi $\frac{3}{2}$. L'équation est $y = \frac{3}{2}x + p$. Elle passe par $(1;0)$ :
$0 = \frac{3}{2}(1) + p$ donc $p = -\frac{3}{2}$.
L'équation est $y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$.

1. La droite (AB) est une droite verticale passant par l'abscisse -2. Son équation est $x=-2$. Elle n'a pas d'équation réduite.
Pour la droite (CD), on lit les points $C(-1;2)$ et $D(4;4)$. Le coefficient directeur est $m = \frac{4-2}{4-(-1)} = \frac{2}{5}$.
L'équation est $y=\frac{2}{5}x+p$. Avec le point C : $2 = \frac{2}{5}(-1)+p$ donc $p = 2 + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$.
L'équation de (CD) est $y = \frac{2}{5}x + \frac{12}{5}$.

2. Le point d'intersection E a pour abscisse $x=-2$. On remplace cette valeur dans l'équation de (CD) :
$y = \frac{2}{5}(-2) + \frac{12}{5} = \frac{-4+12}{5} = \frac{8}{5}$.
Les coordonnées sont $E(-2; \frac{8}{5})$.

On modélise les échelles par des droites dans le repère défini par la figure.

Droite (AC) : Elle passe par $A(0;0)$ et $C(5;3)$.
Son coefficient directeur est $m = \frac{3-0}{5-0} = \frac{3}{5}$. L'ordonnée à l'origine est 0.
Équation : $y = \frac{3}{5}x$.

Droite (BD) : Elle passe par $B(0;2)$ et $D(5;0)$.
Son coefficient directeur est $m = \frac{0-2}{5-0} = -\frac{2}{5}$. L'ordonnée à l'origine est 2.
Équation : $y = -\frac{2}{5}x + 2$.

Intersection E : On résout le système : $\frac{3}{5}x = -\frac{2}{5}x + 2$.
$\frac{5}{5}x = 2$ donc $x=2$.
On calcule $y = \frac{3}{5}(2) = \frac{6}{5}$.
Les coordonnées du point d'intersection sont $E(2; \frac{6}{5})$.

Deux droites (non verticales) sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Le coefficient directeur de $(d_1)$ est $-\frac{m}{2}$.

Le coefficient directeur de $(d_2)$ est $-\frac{2}{m}$.

On doit donc résoudre l'équation : $-\frac{m}{2} = -\frac{2}{m}$.
$m^2 = 4$.
Les solutions sont $m=2$ et $m=-2$.
Les droites sont parallèles pour $m=2$ ou $m=-2$.