Equation cartésienne et vecteur directeur

1. Pour tracer (d), on place le point A. Ensuite, à partir de A, on se déplace de -1 en abscisse et +4 en ordonnée pour trouver un deuxième point, puis on trace la droite.

2. Pour tracer (BC) sans placer C, on calcule le vecteur directeur $\vec{BC}(74-10; 20-4) = \vec{BC}(64; 16)$.
Ce vecteur est colinéaire à un vecteur plus simple $\vec{v}(4;1)$ car $\vec{BC} = 16\vec{v}$. On peut donc tracer la droite passant par B et de vecteur directeur $\vec{v}$.

1. Soit $M(x;y)$ un point de (d). $\overrightarrow{AM}(x-1; y-2)$ et $\vec{u}(-1;4)$ sont colinéaires.
Leur déterminant est nul : $4(x-1) - (-1)(y-2) = 0$ donc $4x-4+y-2=0$.
Une équation de (d) est $4x+y-6=0$.

2. Le vecteur directeur est $\overrightarrow{BC}(64; 16)$. Un vecteur colinéaire est $\vec{v}(4;1)$.
Soit $M(x;y)$ un point de (BC). $\overrightarrow{BM}(x-10; y-4)$ et $\vec{v}(4;1)$ sont colinéaires.
$1(x-10) - 4(y-4) = 0$ donc $x-10-4y+16=0$.
Une équation de (BC) est $x-4y+6=0$.

3. (d') est parallèle à (BC), donc elle a le même vecteur directeur $\vec{v}(4;1)$.
(d') passe par $A(1;2)$. Soit $M(x;y)$ un point de (d'). $\overrightarrow{AM}(x-1; y-2)$ et $\vec{v}(4;1)$ sont colinéaires.
$1(x-1)-4(y-2) = 0$ donc $x-1-4y+8=0$.
Une équation de (d') est $x-4y+7=0$.

4. Le point d'intersection $F(x;y)$ vérifie les deux équations :
$\begin{cases} 4x+y-6=0 \\ x-4y+6=0 \end{cases}$ donc $\begin{cases} y = 6-4x \\ x-4(6-4x)+6=0 \end{cases}$
$x-24+16x+6=0$ donc $17x=18$ donc $x = \frac{18}{17}$.
$y = 6 - 4(\frac{18}{17}) = \frac{102-72}{17} = \frac{30}{17}$.
Le point d'intersection est $F(\frac{18}{17}; \frac{30}{17})$.

1. On choisit une valeur pour $x$, par exemple $x=1$. On remplace dans l'équation :
$3(1)-2y+1=0$ donc $4-2y=0$ donc $y=2$.
Le point A(1; 2) appartient à (D).

2. L'équation est de la forme $ax+by+c=0$. Un vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a)$.
Ici, un vecteur directeur est $\vec{u}(2; 3)$.
Un vecteur de sens contraire est $\vec{v}(-2; -3)$.

3. On isole $y$ pour obtenir l'équation réduite $y=mx+p$ :
$3x+1 = 2y$ donc $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.
L'équation réduite est $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.

1. On remplace les coordonnées de B dans l'équation de (d) :
$7 = -2(-1)+5$ donc $7 = 2+5$ donc $7=7$. L'égalité est vraie, donc B appartient à (d).

2. L'équation réduite est $y=-2x+5$, le coefficient directeur est $m=-2$.
Un vecteur directeur pour une droite d'équation $y=mx+p$ est $\vec{u}(1;m)$.
Un vecteur directeur de (d) est donc $\vec{u}(1;-2)$.

3. (d') est parallèle à (d), elles ont donc le même coefficient directeur $m=-2$.
L'équation de (d') est de la forme $y=-2x+p$. Elle passe par $A(3;1)$, donc :
$1 = -2(3)+p$ donc $1 = -6+p$ donc $p=7$.
L'équation de (d') est $y=-2x+7$.

1. Calcul des coordonnées des vecteurs :
$\overrightarrow{AB}(1 - (-2); -1 - 5) = (3; -6)$.
$\overrightarrow{AC}(3 - (-2); -5 - 5) = (5; -10)$.

2. Pour savoir si les points sont alignés, on vérifie si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On utilise la condition de colinéarité $x_{\overrightarrow{AB}} y_{\overrightarrow{AC}} - x_{\overrightarrow{AC}} y_{\overrightarrow{AB}} = 0$ :
$(3 \times -10) - (5 \times -6) = -30 - (-30) = 0$.
Le résultat est nul, les vecteurs sont donc colinéaires, ce qui signifie que les points A, B et C sont alignés.

3. La droite (AB) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}(3; -6)$. Son équation est de la forme $-6x - 3y + c = 0$.
La droite passe par $A(-2;5)$, donc on remplace :
$-6(-2) - 3(5) + c = 0$ donc $12 - 15 + c = 0$ donc $c=3$.
Une équation cartésienne est $-6x - 3y + 3 = 0$, ou plus simplement en divisant par -3 : $2x + y - 1 = 0$.