Équation cartésienne et vecteur directeur

1. Pour tracer $(d)$, on place le point $A$. Ensuite, à partir de $A$, on se déplace de $-1$ en abscisse et $+4$ en ordonnée pour trouver un deuxième point, puis on trace la droite.

2. Pour tracer $(BC)$ sans placer $C$, on calcule le vecteur directeur $\overrightarrow{BC}(74-10; 20-4) = \overrightarrow{BC}(64; 16)$.
Ce vecteur est colinéaire à un vecteur plus simple $\vec{v}\binom{4}{1}$ car $\overrightarrow{BC} = 16\vec{v}$. On peut donc tracer la droite passant par $B$ et de vecteur directeur $\vec{v}$.

1. Soit $M(x;y)$ un point de $(d)$. $\overrightarrow{AM}\binom{x-1}{y-2}$ et $\vec{u}\binom{-1}{4}$ sont colinéaires.
Leur déterminant est nul : $4(x-1) - (-1)(y-2) = 0$ donc $4x-4+y-2=0$.
Une équation de $(d)$ est $4x+y-6=0$.

2. Le vecteur directeur est $\overrightarrow{BC}\binom{64}{16}$. Un vecteur colinéaire est $\vec{v}\binom{4}{1}$.
Soit $M(x;y)$ un point de $(BC)$. $\overrightarrow{BM}\binom{x-10}{y-4}$ et $\vec{v}\binom{4}{1}$ sont colinéaires.
$1(x-10) - 4(y-4) = 0$ donc $x-10-4y+16=0$.
Une équation de $(BC)$ est $x-4y+6=0$.

3. $(d')$ est parallèle à $(BC)$, donc elle a le même vecteur directeur $\vec{v}\binom{4}{1}$.
$(d')$ passe par $A(1;2)$. Soit $M(x;y)$ un point de $(d')$. $\overrightarrow{AM}\binom{x-1}{y-2}$ et $\vec{v}\binom{4}{1}$ sont colinéaires.
$1(x-1)-4(y-2) = 0$ donc $x-1-4y+8=0$.
Une équation de $(d')$ est $x-4y+7=0$.

4. Le point d'intersection $F(x;y)$ vérifie les deux équations :
$\left\{ \begin{aligned} 4x+y-6&=0 \\ x-4y+6&=0 \end{aligned} \right.$ donc $\left\{ \begin{aligned} y &= 6-4x \\ x-4\left(6-4x\right)+6&=0 \end{aligned} \right.$
$x-24+16x+6=0$ donc $17x=18$ donc $x = \dfrac{18}{17}$.
$y = 6 - 4\left(\dfrac{18}{17}\right) = \dfrac{102-72}{17} = \dfrac{30}{17}$.
Le point d'intersection est $F\left(\dfrac{18}{17}; \dfrac{30}{17}\right)$.

1. On choisit une valeur pour $x$, par exemple $x=1$. On remplace dans l'équation :
$3\left(1\right)-2y+1=0$ donc $4-2y=0$ donc $y=2$.
Le point $A\left(1; 2\right)$ appartient à $(D)$.

2. L'équation est de la forme $ax+by+c=0$. Un vecteur directeur est $\vec{u}\binom{-b}{a}$.
Ici, un vecteur directeur est $\vec{u}\binom{2}{3}$.
Un vecteur de sens contraire est $\vec{v}\binom{-2}{-3}$.

3. On isole $y$ pour obtenir l'équation réduite $y=mx+p$ :
$3x+1 = 2y$ donc $y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}$.
L'équation réduite est $y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}$.

1. On remplace les coordonnées de $B$ dans l'équation de $(d)$ :
$7 = -2\left(-1\right)+5$ donc $7 = 2+5$ donc $7=7$. L'égalité est vraie, donc $B$ appartient à $(d)$.

2. L'équation réduite est $y=-2x+5$, le coefficient directeur est $m=-2$.
Un vecteur directeur pour une droite d'équation $y=mx+p$ est $\vec{u}\binom{1}{m}$.
Un vecteur directeur de $(d)$ est donc $\vec{u}\binom{1}{-2}$.

3. $(d')$ est parallèle à $(d)$, elles ont donc le même coefficient directeur $m=-2$.
L'équation de $(d')$ est de la forme $y=-2x+p$. Elle passe par $A(3;1)$, donc :
$1 = -2\left(3\right)+p$ donc $1 = -6+p$ donc $p=7$.
L'équation de $(d')$ est $y=-2x+7$.

1. Calcul des coordonnées des vecteurs :
$\overrightarrow{AB}\binom{1 - (-2)}{-1 - 5} = \binom{3}{-6}$.
$\overrightarrow{AC}\binom{3 - (-2)}{-5 - 5} = \binom{5}{-10}$.

2. Pour savoir si les points sont alignés, on vérifie si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On utilise la condition de colinéarité $x y' - x' y = 0$ :
$3 \times \left(-10\right) - 5 \times \left(-6\right) = -30 - \left(-30\right) = 0$.
Le résultat est nul, les vecteurs sont donc colinéaires, ce qui signifie que les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

3. La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\vec{u} = \overrightarrow{AB}\binom{3}{-6}$. Son équation est de la forme $-6x - 3y + c = 0$.
La droite passe par $A(-2;5)$, donc on remplace :
$-6\left(-2\right) - 3\left(5\right) + c = 0$ donc $12 - 15 + c = 0$ donc $c=3$.
Une équation cartésienne est $-6x - 3y + 3 = 0$, ou plus simplement en divisant par $-3$ : $2x + y - 1 = 0$.