Addition des vecteurs

$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}= $ $\overrightarrow{AD}$ (Relation de Chasles).

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}= $ $\overrightarrow{AB}$ (Relation de Chasles).

ABCD est un parallélogramme de centre O, donc O est le milieu de [BD]. Ainsi $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OD}$ sont opposés. Donc $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}= $ $\vec{0}$.

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}= $ $\overrightarrow{OB}$ (Relation de Chasles).

ABCD est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$. En utilisant la relation de Chasles :
$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} = $ $\overrightarrow{CA}$.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=$ $\overrightarrow{AC}$ (Chasles)

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=$ $\overrightarrow{AF}$ (Règle du parallélogramme ABFE)

$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AG}=$ $\overrightarrow{AL}$ (Règle du parallélogramme AFLG, car $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{FL}$. Donc $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FL}=\overrightarrow{AL}$)

Dans le pavage, $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{HJ}$. Donc $\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HJ} = $ $\overrightarrow{FJ}$.

Dans le pavage, $\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{FI}$. Donc $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{GJ} = \overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FI} = $ $\overrightarrow{AI}$.

Dans le pavage, $\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{FD}$. Donc $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FD} = $ $\overrightarrow{AD}$.

1. Figure :

2. G est le centre de gravité de ABC. Soit I le milieu de [BC]. Par propriété, G est sur la médiane [AI] et $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$.
E est le symétrique de A par rapport à G, donc G est le milieu de [AE]. Cela signifie que $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GE}$.
On a donc $\overrightarrow{GE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$. Comme $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GI}$, on a $\overrightarrow{GI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AI}$. Ainsi $\overrightarrow{GE} = 2\overrightarrow{GI}$, ce qui prouve que I est le milieu de [GE].
Le quadrilatère BGCE a ses diagonales [BC] et [GE] qui se coupent en leur milieu I. C'est donc un parallélogramme.

3. Puisque BGCE est un parallélogramme, d'après la règle du parallélogramme pour les vecteurs, on a $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GE}$.

4. On sait que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA} + (\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$. En utilisant le résultat précédent, on a $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GE}$.
Comme G est le milieu de [AE], les vecteurs $\overrightarrow{GA}$ et $\overrightarrow{GE}$ sont opposés. Leur somme est donc le vecteur nul.
On conclut que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.

1. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = $ $\overrightarrow{AC}$.

2. Dans un hexagone régulier, ABCO est un losange, donc $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BC}$. Ainsi, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = $ $\overrightarrow{AC}$.

3. Dans un hexagone régulier, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}$. Donc, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$. Le quadrilatère ABOF est un losange, donc d'après la règle du parallélogramme, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF} = $ $\overrightarrow{AO}$.

4. Dans un hexagone régulier, OCDE est un losange. D'après la règle du parallélogramme, $\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OC} = $ $\overrightarrow{OD}$.

1. D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = $ $\overrightarrow{AC}$.

2. ABCD est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. Ainsi, $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB} = $ $\overrightarrow{DB}$ (Relation de Chasles).

3. ABCD est un parallélogramme, donc les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CB}$ sont opposés ($\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{AD}$). Leur somme est donc le vecteur nul : $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD} = $ $\vec{0}$.

4. D'après la règle du parallélogramme, la somme de deux vecteurs de même origine est le vecteur porté par la diagonale. Donc, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} = $ $\overrightarrow{AC}$.