Vecteurs dans un repère

1 & 2. Pour calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ :
$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) = (6-4; -4-2) = (2; -6)$.
Les coordonnées sont $\overrightarrow{AB}(2;-6)$.

3. Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Soit $D(x_D; y_D)$. On a $\overrightarrow{DC}(x_C - x_D; y_C - y_D) = (0-x_D; -2-y_D)$.
En identifiant les coordonnées : $0-x_D = 2$ donc $x_D = -2$ et $-2-y_D = -6$ donc $-y_D = -4$ donc $y_D=4$.
Les coordonnées de D sont (-2; 4).

4. On calcule les longueurs AB et BC :
$AB = \sqrt{(2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40}$.
$BC = \sqrt{(0-6)^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40}$.
Comme $AB=BC$, le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur. C'est donc un losange.

1. Figure :

2. Coordonnées de M, milieu de [AC] :
$x_M = \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{-3+9}{2} = 3$.
$y_M = \frac{y_A+y_C}{2} = \frac{-2+4}{2} = 1$.
Les coordonnées sont M(3; 1).

3. Coordonnées des vecteurs :
$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) = (-1 - (-3); 9 - (-2)) = (2; 11)$.
$\overrightarrow{AC}(x_C - x_A; y_C - y_A) = (9 - (-3); 4 - (-2)) = (12; 6)$.
On a $\overrightarrow{AB}(2;11)$ et $\overrightarrow{AC}(12;6)$.

4. Longueur BC :
$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(9 - (-1))^2 + (4-9)^2} = \sqrt{10^2 + (-5)^2} = \sqrt{100+25} = \sqrt{125}$.
$BC \approx 11,2$. La longueur est d'environ 11,2 cm.

1. Figure et calculs :

$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) = (-2-3; 5-(-5)) = (-5; 10)$.
$AB = \sqrt{(-5)^2 + 10^2} = \sqrt{25+100} = \sqrt{125}$.
$\overrightarrow{AB}(-5;10)$ et $AB = \sqrt{125}$.

2 & 3. D est l'image de C par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, ce qui signifie que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$.
Soit $D(x_D; y_D)$. $\overrightarrow{CD}(x_D - (-2); y_D - (-4)) = (x_D+2; y_D+4)$.
On identifie les coordonnées : $x_D+2 = -5$ donc $x_D = -7$ et $y_D+4 = 10$ donc $y_D=6$.
Les coordonnées sont D(-7; 6).

4. L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que ABDC est un parallélogramme.
Le point M est le milieu des diagonales [AD] et [BC]. Calculons le milieu de [BC] :
$x_M = \frac{-2+(-2)}{2} = -2$.
$y_M = \frac{5+(-4)}{2} = \frac{1}{2}$.
Les coordonnées sont $M(-2; \frac{1}{2})$.