Transformations du plan

1 & 2. Figure :

3. Par définition de la translation :
I est l'image de R par la translation de vecteur $\overrightarrow{ST}$ signifie que $\overrightarrow{RI} = \overrightarrow{ST}$.
J est l'image de S par la translation de vecteur $\overrightarrow{TR}$ signifie que $\overrightarrow{SJ} = \overrightarrow{TR}$.
L'égalité $\overrightarrow{SJ} = \overrightarrow{TR}$ signifie que SJRT est un parallélogramme. Donc on a aussi $\overrightarrow{ST} = \overrightarrow{JR}$.
Par transitivité, de $\overrightarrow{RI} = \overrightarrow{ST}$ et $\overrightarrow{ST} = \overrightarrow{JR}$, on déduit $\overrightarrow{RI} = \overrightarrow{JR}$.
L'égalité vectorielle $\overrightarrow{JR} = \overrightarrow{RI}$ signifie par définition que R est le milieu de [IJ].

1 & 2a. Figure :

2b. J est l'image de I par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$, donc $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{BC}$. Ceci signifie que BCJI est un parallélogramme. On a $BI = AB - AI = 7-2=5$ cm. Comme $BC=5$ cm, on a $BI=BC$.
Le parallélogramme BCJI a deux côtés consécutifs de même longueur, c'est donc un losange. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, donc (BJ) $\perp$ (CI).

3. K est le symétrique de J par rapport à I, ce qui signifie que I est le milieu de [JK]. Vectoriellement, $\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{IK}$.
On sait que BCJI est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{IJ}$. On a donc $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{KI}$ (en inversant le vecteur).
L'égalité $\overrightarrow{KI} = \overrightarrow{BC}$ est incorrecte. La bonne égalité est $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{IK}$. Cette égalité signifie que BCIK est un parallélogramme.

1 & 2. Figure et démonstration :

D'après la réciproque du théorème de Pythagore ($7,5^2 = 6^2 + 4,5^2$), le triangle ABC est rectangle en C.

3. Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse. Ici, [CI] est la médiane relative à l'hypoténuse [AB], donc $IC = \frac{1}{2}AB = AI$.
J est le symétrique de I par rapport à l'axe (AC). La symétrie axiale conserve les longueurs, donc $AJ = AI$ et $CJ = CI$.
On a donc $AI = IC = CJ = JA$. Le quadrilatère AICJ a ses quatre côtés de même longueur, c'est un losange.

1 & 2. Construction :

3. La composition de deux symétries centrales de centres B et C est une translation. Le vecteur de cette translation est $2\overrightarrow{BC}$.
Graphiquement, on voit que pour passer de la figure $\mathcal{F}$ à la figure $\mathcal{F}_{2}$, on effectue une translation de vecteur $\overrightarrow{AT}$, où T est l'image de A après les deux symétries. On a $\overrightarrow{AT} = 2\overrightarrow{BC}$.