Vecteurs du plan

1. K est le milieu de [AB]. Par définition du milieu, les vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{KB}$ ont la même direction, le même sens et la même norme. Ils sont donc égaux : $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$.

2. Dans le triangle ABC, J et K sont les milieux respectifs de [AC] et [AB]. D'après le théorème des milieux, on a $\overrightarrow{KJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Comme I est le milieu de [BC], on a aussi $\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. On en déduit que $\overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{BI}$.
Un quadrilatère (ici KBIJ, en inversant l'ordre des points pour correspondre au sens du vecteur) qui a deux côtés opposés définis par des vecteurs égaux est un parallélogramme. Ainsi, BIJK est un parallélogramme.

3. Puisque BIJK est un parallélogramme, on a les égalités vectorielles $\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{JI}$.
En utilisant le fait que I est le milieu de [BC] ($\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$) et K est le milieu de [AB] ($\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$), on obtient par transitivité :
$\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$
$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{JI}$

1 & 2. Figure :

3. On utilise les propriétés vectorielles des parallélogrammes :
Puisque ABCD est un parallélogramme, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Or, par construction, $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}$. Par transitivité, on a $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$. Cette égalité signifie que BCED est un parallélogramme. On en déduit que $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{EC}$.
De même, puisque ABCD est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Or, par construction, $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}$. Par transitivité, on a $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DC}$. Cette égalité signifie que BFCD est un parallélogramme. On en déduit que $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CF}$.
Des deux points précédents, on a $\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{DB}$. On conclut donc que $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{CF}$, ce qui prouve que C est le milieu du segment [EF].

1. Figure :

2. On utilise les définitions vectorielles :
ABCD est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Or, on a $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}$ par construction. Par transitivité, on obtient $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}$. L'égalité $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CE}$ signifie que C est le milieu du segment [BE].
De même, ABCD est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Or, on a $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}$ par construction. Par transitivité, $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DC}$. L'égalité $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CF}$ signifie que C est le milieu du segment [DF].
Le quadrilatère BFED a ses diagonales [BE] et [DF] qui se coupent en leur milieu C. C'est donc un parallélogramme.

1. Figure :

2. Par définition des parallélogrammes :
MCEA est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{MC}$.
MBDC est un parallélogramme donc $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MC}$.
Par transitivité, on en déduit que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$.
Cette égalité vectorielle signifie que le quadrilatère AEDB est un parallélogramme. Ses diagonales [AD] et [BE] se coupent donc en leur milieu.

3. De même :
MAFB est un parallélogramme donc $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BF}$.
MCEA est un parallélogramme donc $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CE}$.
On en déduit par transitivité $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CE}$, ce qui signifie que BFEC est un parallélogramme. Ses diagonales [BE] et [CF] se coupent en leur milieu.
Finalement, [AD] et [BE] ont le même milieu, et [BE] et [CF] ont le même milieu. Donc, les trois segments [AD], [BE] et [CF] ont le même milieu.