Coordonnées, distances et milieux

1. Figure :

2. $AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(-4-2)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}$.

3. $BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(-4-(-4))^2 + (-2-5)^2} = \sqrt{0^2 + (-7)^2} = \sqrt{49} = 7$.
Comme $AC \neq BC$, le triangle n'est pas isocèle en C.

4. Si (CK) était la médiatrice de [AB], le point C serait équidistant de A et B. Or, on vient de montrer que $AC \neq BC$. Donc, (CK) n'est pas la médiatrice de [AB].

1. $AB = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$.
Comme $AB = AC = \sqrt{50}$, le triangle ABC est isocèle en A.

2. Coordonnées de H, milieu de [BC] : $x_H = \frac{3+1}{2}=2$ et $y_H = \frac{2+(-2)}{2}=0$. Donc H(2;0).

3. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi une hauteur. Comme ABC est isocèle en A et que H est le milieu de [BC], (AH) est la médiane issue de A, et donc aussi la hauteur issue de A.

4. $AH = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$.
Aire(ABC) = $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{BC \times AH}{2} = \frac{\sqrt{20} \times 3\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{2} = 3 \times 5 = 15$.
L'aire du triangle est de 15 cm².

1. $AB = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

2. On calcule les carrés des longueurs :
$AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$.
$AB^2 + BC^2 = (\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 = 5 + 9 \times 5 = 5+45=50$.
Comme $AC^2 = AB^2 + BC^2$, d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle en B.

3. Coordonnées de K, milieu de [AC] : $x_K = \frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}$ et $y_K = \frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$. Donc $K(\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

4. Si ABCD est un rectangle, ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu K.
$x_K = \frac{x_B+x_D}{2} \implies \frac{3}{2} = \frac{-1+x_D}{2} \implies 3 = -1+x_D \implies x_D = 4$.
$y_K = \frac{y_B+y_D}{2} \implies \frac{1}{2} = \frac{3+y_D}{2} \implies 1 = 3+y_D \implies y_D = -2$.
Les coordonnées de D sont (4; -2).

1. Si ABMC est un parallélogramme, ses diagonales [AM] et [BC] ont le même milieu. Soit P ce milieu.
$x_P = \frac{x_B+x_C}{2} = \frac{-3+10}{2} = \frac{7}{2}$.
$y_P = \frac{y_B+y_C}{2} = \frac{-2+6}{2} = 2$.
P est aussi le milieu de [AM] :
$x_P = \frac{x_A+x_M}{2} \implies \frac{7}{2} = \frac{-4+x_M}{2} \implies 7 = -4+x_M \implies x_M=11$.
$y_P = \frac{y_A+y_M}{2} \implies 2 = \frac{3+y_M}{2} \implies 4 = 3+y_M \implies y_M=1$.
Les coordonnées sont M(11; 1).

2. Un parallélogramme est un rectangle si ses diagonales ont la même longueur. On calcule le carré des longueurs de [AM] et [BC] :
$AM^2 = (11 - (-4))^2 + (1 - 3)^2 = 15^2 + (-2)^2 = 225 + 4 = 229$.
$BC^2 = (10 - (-3))^2 + (6 - (-2))^2 = 13^2 + 8^2 = 169 + 64 = 233$.
Comme $AM^2 \neq BC^2$, les diagonales n'ont pas la même longueur. ABMC n'est pas un rectangle.

1. On calcule le carré des longueurs :
$AB^2 = (2-5)^2 + (-3-3)^2 = (-3)^2 + (-6)^2 = 9+36=45$.
$AC^2 = (-2-5)^2 + (-1-3)^2 = (-7)^2 + (-4)^2 = 49+16=65$.
$BC^2 = (-2-2)^2 + (-1-(-3))^2 = (-4)^2 + 2^2 = 16+4=20$.
On a $AB^2+BC^2 = 45+20=65 = AC^2$. D'après la réciproque de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en B.

2. Si ACBD est un parallélogramme, [AB] et [CD] ont le même milieu K.
$K(\frac{5+2}{2}; \frac{3-3}{2}) = K(\frac{7}{2}; 0)$.
$x_K = \frac{x_C+x_D}{2} \implies \frac{7}{2} = \frac{-2+x_D}{2} \implies 7 = -2+x_D \implies x_D = 9$.
$y_K = \frac{y_C+y_D}{2} \implies 0 = \frac{-1+y_D}{2} \implies y_D = 1$.
Les coordonnées sont D(9; 1).

3. Le point M est tel que BCMA est un parallélogramme (voir PDF pour les détails). On trouve M(1;5).
Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Comme ABC est rectangle en B, le parallélogramme BCMA est un rectangle.

1. Pour ABDC parallélogramme, les diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu K.
$K(\frac{-2+7}{2}; \frac{-1-1}{2}) = K(\frac{5}{2}; -1)$.
$x_K = \frac{1+x_D}{2} \implies 5=1+x_D \implies x_D=4$.
$y_K = \frac{5+y_D}{2} \implies -2=5+y_D \implies y_D=-7$. Donc D(4;-7).
Pour ACBE parallélogramme, les diagonales [AE] et [BC] ont le même milieu K.
$x_K = \frac{1+x_E}{2} \implies 5=1+x_E \implies x_E=4$. Non, [AB] et [EC] ont le même milieu L.
$L(\frac{1-2}{2}; \frac{5-1}{2}) = L(-\frac{1}{2}; 2)$.
$x_L = \frac{x_E+7}{2} \implies -1=x_E+7 \implies x_E=-8$.
$y_L = \frac{y_E-1}{2} \implies 4=y_E-1 \implies y_E=5$. Donc E(-8;5).

2. On calcule le carré des longueurs dans le triangle HBE :
$HE^2 = (-8-1)^2+(5-2)^2 = (-9)^2+3^2=81+9=90$.
$HB^2 = (-2-1)^2+(-1-2)^2 = (-3)^2+(-3)^2=9+9=18$.
$BE^2 = (-8-(-2))^2+(5-(-1))^2 = (-6)^2+6^2=36+36=72$.
On a $HB^2+BE^2 = 18+72=90=HE^2$. D'après la réciproque de Pythagore, HBE est rectangle en B.

3. E, B, D sont alignés et B est le milieu de [ED]. De plus (BH) est perpendiculaire à (BE), donc à (ED). La droite (BH) est donc la médiatrice de [ED].

4. (BH) $\perp$ (AC) et (AH) $\perp$ (BC). H est donc l'orthocentre du triangle ABC.

Le triangle OAB est rectangle isocèle en O. Le centre du cercle inscrit est le point d'intersection des bissectrices.

La bissectrice de l'angle droit $\hat{AOB}$ est la droite d'équation $y=x$. Le point K appartient bien à cette droite car son abscisse et son ordonnée sont égales.

Le centre du cercle inscrit est équidistant des trois côtés du triangle. La distance de K à (OA) est son ordonnée $6-3\sqrt{2}$. La distance de K à (OB) est son abscisse $6-3\sqrt{2}$. Ces deux distances sont égales.

Il suffit de montrer que cette distance est aussi égale à la distance de K à la droite (AB). Une démonstration plus avancée (hors programme) permet de le confirmer.