Rappels en géométrie de collège

1 & 2. Construction de la figure :

3. On calcule les carrés des longueurs des côtés du triangle ABC :
$AB^2 = 7,5^2 = 56,25$
$AC^2 + BC^2 = 6^2 + 4,5^2 = 36 + 20,25 = 56,25$
Comme $AB^2 = AC^2 + BC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

4. Le point D est le symétrique de B par rapport à l'axe (AC). Cela signifie que (AC) est la médiatrice de [BD].
Par définition de la symétrie axiale, la droite (BD) est perpendiculaire à l'axe (AC).
Or, on a démontré que (BC) est perpendiculaire à (AC).
Les droites (BD) et (BC) sont donc parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (AC). Comme elles passent toutes les deux par le point B, elles sont confondues. Les points B, C et D sont donc alignés.
De plus, la symétrie axiale conserve les longueurs, donc $CD = BC$.
Puisque les points sont alignés et que $CD=BC$, on peut conclure que C est le milieu de [BD].

1. Dans le triangle BUC rectangle en U, d'après le théorème de Pythagore :
$BC^2 = BU^2 + UC^2$
$20^2 = 16^2 + UC^2 \implies 400 = 256 + UC^2 \implies UC^2 = 144$.
Donc $UC = \sqrt{144} = $ 12.

2. L'aire d'un triangle rectangle est le produit des côtés de l'angle droit divisé par 2 :
Aire(BUC) = $\frac{BU \times UC}{2} = \frac{16 \times 12}{2} = 96$.
L'aire est de 96 cm².
On peut aussi exprimer l'aire en utilisant la hauteur [UH] relative à la base [BC] :
Aire(BUC) = $\frac{BC \times UH}{2}$.
$96 = \frac{20 \times UH}{2} \implies 96 = 10 \times UH \implies UH = 9,6$.
La hauteur UH mesure 9,6 cm.

1. Le triangle NEP est isocèle en N, donc ses angles à la base sont égaux : $\hat{NPE} = \hat{NEP} = 55^\circ$.

2. Dans le triangle MNP, la somme des angles vaut 180°. On a :
$\hat{MNP} = 180^\circ - (\hat{NMP} + \hat{MPN}) = 180^\circ - (35^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Le triangle MNP est donc rectangle en N.

3. On peut maintenant utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle MNP rectangle en N :
$MP^2 = MN^2 + NP^2$
$10^2 = 9^2 + NP^2 \implies 100 = 81 + NP^2 \implies NP^2 = 19$.
$NP = \sqrt{19} \approx 4,4$.
La longueur NP est d'environ 4,4.

1. La droite (d) est la médiatrice de [AE]. Le point B appartient à (d). Tout point sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Donc, $AB = BE = 6$ cm.

2. BEFC est un parallélogramme. Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur. Donc, $BC = EF = 4,5$ cm.

3. On connaît maintenant les trois longueurs du triangle ABC : $AB=6$ cm, $BC=4,5$ cm, et $AC=7,5$ cm.
On applique la réciproque du théorème de Pythagore :
$AC^2 = 7,5^2 = 56,25$
$AB^2 + BC^2 = 6^2 + 4,5^2 = 36 + 20,25 = 56,25$
Comme $AC^2 = AB^2 + BC^2$, le triangle ABC est rectangle en B.

1. Construction de la figure :

2. B est le symétrique de A par rapport à (d). La symétrie axiale conserve les longueurs. Le point O est sur l'axe (d), donc il est son propre symétrique. Le segment [OB] est le symétrique du segment [OA]. Par conséquent, $OB = OA$.
De même, C est le symétrique de A par rapport à (d'). Le point O est sur l'axe (d'), donc $OC = OA$.
On a donc $OB = OC (= OA)$.
Le point O est équidistant des points B et C. Tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment.
On conclut que O appartient à la médiatrice de [BC].

1. Construction :

2. La symétrie axiale conserve les angles. L'angle $\hat{BCP}$ et son symétrique $\hat{PCM}$ par rapport à (d) sont égaux. Donc (d) est la bissectrice de l'angle $\hat{BCM}$.
De même, l'angle $\hat{CBP}$ et son symétrique $\hat{PBM}$ par rapport à (d') sont égaux. Donc (d') est la bissectrice de l'angle $\hat{CBM}$.
Dans le triangle BCM, les droites (d) et (d') sont deux bissectrices. Elles se coupent en P. Or, les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes.
On en déduit que la troisième bissectrice, issue de M, passe aussi par P. La droite (MP) est donc la bissectrice de l'angle $\hat{BMC}$.

1. Figure :

2. Par construction, la droite (AB) est parallèle à (PN). Comme C est sur (NP), on a (AB) // (PC).
De même, par construction, (BC) // (MP). Comme A est sur [MP], on a (BC) // (AP).
Le quadrilatère ABCP a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c'est donc un parallélogramme.

3. Dans le triangle MNP, les points M, A, P et M, B, N sont alignés. De plus, (AB) // (PN). D'après le théorème de Thalès :
$\frac{MA}{MP} = \frac{MB}{MN} = \frac{AB}{PN}$.
On a $MA = MP - AP = 8 - 4,8 = 3,2$ cm.
$\frac{3,2}{8} = \frac{AB}{12} \implies AB = \frac{3,2 \times 12}{8} = 4,8$.
La longueur AB est de 4,8 cm.

4. On sait que ABCP est un parallélogramme. On vient de montrer que $AB=4,8$ cm. On sait aussi que $AP=4,8$ cm.
Ce parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur ($AB=AP$). C'est donc un losange.

1. Figure initiale :

Le triangle ABE est inscrit dans le cercle (C) et l'un de ses côtés, [AB], est un diamètre du cercle. Un triangle inscrit dans un cercle ayant pour côté un diamètre est un triangle rectangle. L'hypoténuse est ce diamètre.
Le triangle ABE est donc rectangle en E.

2. Dans le triangle ABE rectangle en E, on a :
$\sin(\hat{BAE}) = \frac{BE}{AB}$.
$\sin(40^\circ) = \frac{BE}{8}$.
La valeur exacte est $BE = 8 \sin(40^\circ)$.
$BE \approx 8 \times 0,643 \approx 5,142$ cm. L'arrondi au millimètre est 5,1 cm.

3. Figure avec le point D :

Dans le triangle ABD, O est le milieu du côté [AB] (centre du cercle et [AB] est un diamètre).
D est le symétrique de B par rapport à E, donc E est le milieu du côté [BD].
La droite (OE) passe par les milieux de deux côtés du triangle ABD. D'après le théorème des milieux, elle est parallèle au troisième côté, (AD).
On a bien (AD) // (OE).

4. Le triangle ABE est rectangle en E, donc (AE) est perpendiculaire à (BE). Comme les points B, E, D sont alignés, (AE) est aussi perpendiculaire à (BD).
La droite (AE) est la hauteur issue de A dans le triangle ABD. C'est aussi la médiane, car E est le milieu de [BD].
Un triangle dans lequel une médiane est aussi une hauteur est un triangle isocèle.
Le triangle ABD est donc isocèle en A.