La fonction racine carrée

1. L'équation est définie si $x-2 \ge 0$, soit $x \ge 2$.
On élève au carré : $(\sqrt{x-2})^2 = 3^2 \implies x-2 = 9 \implies x = 11$.
La valeur $11$ est bien dans l'intervalle $[2; +\infty[$. L'ensemble solution est $S=\{11\}$.

2. L'équation est définie si $3-x \ge 0$, soit $x \le 3$.
On élève au carré : $(\sqrt{3-x})^2 = 4^2 \implies 3-x = 16 \implies x = 3-16 = -13$.
La valeur $-13$ est bien dans l'intervalle $]-\infty; 3]$. L'ensemble solution est $S=\{-13\}$.

3. Une racine carrée est toujours positive ou nulle. L'équation $\sqrt{x+1} = -1$ n'a donc aucune solution.
L'ensemble solution est $S=\emptyset$.

1. L'inéquation est définie pour $x \ge 0$. Comme les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :
$x > 3^2 \implies x > 9$.
L'ensemble solution est $S=]9; +\infty[$.

2. L'inéquation est définie pour $1-x \ge 0$, soit $x \le 1$.
Sur cet intervalle, $\sqrt{1-x} \ge 0$, donc on peut élever au carré : $1-x < 2^2 \implies 1-x < 4 \implies -x < 3 \implies x > -3$.
Il faut donc que $x > -3$ ET $x \le 1$. L'ensemble solution est $S=]-3; 1]$.

3. L'inéquation est définie pour $x+1 \ge 0$, soit $x \ge -1$.
Sur cet intervalle, la racine carrée $\sqrt{x+1}$ est toujours positive ou nulle, donc elle est toujours supérieure à $-1$.
L'inégalité est vraie pour toutes les valeurs du domaine de définition. L'ensemble solution est $S=[-1; +\infty[$.

La fonction racine carrée est croissante sur $[0, +\infty[$.

1. De $0 \le x \le 2$, on a $\sqrt{0} \le \sqrt{x} \le \sqrt{2}$.
En ajoutant 1, on obtient $1 \le \sqrt{x}+1 \le 1+\sqrt{2}$.

2. On part de $0 \le x \le 2$. On ajoute 4 : $4 \le x+4 \le 6$.
On applique la racine carrée : $\sqrt{4} \le \sqrt{x+4} \le \sqrt{6}$.
On soustrait 3 : $2-3 \le \sqrt{x+4}-3 \le \sqrt{6}-3$, soit $-1 \le \sqrt{x+4}-3 \le \sqrt{6}-3$.

3. On part de $0 \le x \le 2$. On ajoute 1 : $1 \le 1+x \le 3$.
On applique la racine carrée : $1 \le \sqrt{1+x} \le \sqrt{3}$.
On multiplie par -1 (on change le sens) : $-\sqrt{3} \le -\sqrt{1+x} \le -1$.
On ajoute 2 : $2-\sqrt{3} \le 2-\sqrt{1+x} \le 1$.

1. La fonction est définie si ce qui est sous la racine est positif ou nul :
$x-1 \ge 0 \iff x \ge 1$.
Le domaine de définition est $D_f = [1; +\infty[$.

2. Soient $a$ et $b$ deux réels de $D_f$ tels que $a < b$.
$1 \le a < b \implies 0 \le a-1 < b-1$.
La fonction racine carrée est croissante sur $[0; +\infty[$, donc $\sqrt{a-1} < \sqrt{b-1}$.
En ajoutant 1, on a $\sqrt{a-1}+1 < \sqrt{b-1}+1$, soit $f(a) < f(b)$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1; +\infty[$.

3. On calcule la valeur au début de l'intervalle : $f(1) = \sqrt{1-1}+1 = 1$.
Tableau de variation :