La fonction inverse

La fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0; +\infty\right[$.

1. De $1 \le x \le 2$, on déduit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{1}$, soit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{x} \le 1$.

2. On multiplie l'encadrement précédent par $-2$ (on change le sens des inégalités) :
$-2 \times 1 \le \dfrac{-2}{x} \le -2 \times \dfrac{1}{2}$, soit $-2 \le \dfrac{-2}{x} \le -1$.

3. On repart de $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{x} \le 1$. On multiplie par $5$ puis on ajoute $1$ :
$\dfrac{5}{2} \le \dfrac{5}{x} \le 5$, puis $\dfrac{5}{2}+1 \le \dfrac{5}{x}+1 \le 5+1$, soit $\dfrac{7}{2} \le \dfrac{5}{x}+1 \le 6$.

4. On part de $1 \le x \le 2$. On soustrait $3$ : $-2 \le x-3 \le -1$. Cet intervalle est dans $\left]-\infty; 0\right[$, où la fonction inverse est décroissante.
On inverse en changeant le sens : $\dfrac{1}{-1} \le \dfrac{1}{x-3} \le \dfrac{1}{-2}$.
On multiplie par $-1$ en changeant le sens : $-\dfrac{1}{-2} \le \dfrac{-1}{x-3} \le -\dfrac{1}{-1}$, soit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{-1}{x-3} \le 1$.

1. La fonction n'est pas définie lorsque son dénominateur est nul, c'est-à-dire pour $x=0$. Le domaine de définition est donc $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

2. On met au même dénominateur : $2 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x-1}{x}$. C'est bien $f\left(x\right)$.

3. Sur $\left]0; +\infty\right[$, la fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante. Donc $x \mapsto -\dfrac{1}{x}$ est croissante. Ajouter $2$ ne change pas les variations. Donc $f$ est croissante sur $\left]0; +\infty\right[$.
De même, sur $\left]-\infty; 0\right[$, $f$ est croissante.
Tableau de variation :

4. On étudie le signe de $f\left(x\right) - 2 = \left(2 - \dfrac{1}{x}\right) - 2 = -\dfrac{1}{x}$.
Si $x>0$, $-\dfrac{1}{x} < 0$, donc la courbe est en dessous de la droite.
Si $x<0$, $-\dfrac{1}{x} > 0$, donc la courbe est au-dessus de la droite.

1. Sur une calculatrice, on observe que pour $x<0$, la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$. Pour $x>0$, elles se coupent en $x=1$. Avant $1$, $f$ est au-dessus, après $1$, $g$ est au-dessus.

2. Si $x<0$, $f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}$ est négatif. $g\left(x\right)=x^2$ est positif. Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif, donc $f(x) < g(x)$.

3. On étudie le signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right) = x^2 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^3-1}{x}$.
Pour $x>0$, le dénominateur $x$ est positif. Le signe de la différence est donc celui de $x^3-1$.
- Si $0 < x < 1$, alors $x^3 < 1$, donc $x^3-1 < 0$. $g\left(x\right)-f\left(x\right)<0$, donc $C_g$ est en dessous de $C_f$.
- Si $x=1$, $x^3-1=0$. Les courbes se coupent.
- Si $x > 1$, alors $x^3 > 1$, donc $x^3-1 > 0$. $g\left(x\right)-f\left(x\right)>0$, donc $C_g$ est au-dessus de $C_f$.