La fonction cube

La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On peut donc élever au cube en conservant l'ordre.

1. De $-1 < x \le 2$, on déduit $\left(-1\right)^3 < x^3 \le 2^3$, soit $-1 < x^3 \le 8$.

2. On multiplie l'encadrement précédent par $-3$ (on change le sens des inégalités) :
$-3 \times 8 \le -3x^3 < -3 \times \left(-1\right)$, soit $-24 \le -3x^3 < 3$.

3. On repart de $-1 < x^3 \le 8$. On multiplie par $-1$ puis on ajoute $1$ :
$-8 \le -x^3 < 1$, puis $-8+1 \le 1-x^3 < 1+1$, soit $-7 \le 1-x^3 < 2$.

1. On factorise l'expression par $x$ :
$x\left(x^2 - 2x + 1\right) = 0$.
On reconnaît une identité remarquable : $x\left(x-1\right)^2 = 0$.
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, donc $x=0$ ou $\left(x-1\right)^2=0$.
Les solutions sont $x=0$ et $x=1$.

2. On étudie le signe de $f\left(x\right) = x\left(x-1\right)^2$. Un carré est toujours positif ou nul.

1. On développe $\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right) = x^3+x^2+x-x^2-x-1 = x^3-1$.
Donc $f\left(x\right) = x^3-1-x+1 = $ $x^3-x$.

2. On factorise $f\left(x\right) = x\left(x^2-1\right)$. On utilise une identité remarquable :
$f\left(x\right) = $ $x\left(x-1\right)\left(x+1\right)$.

3. On étudie le signe de $f\left(x\right)$ avec ses trois facteurs : $x$, $x-1$ et $x+1$. Les racines sont $-1$, $0$ et $1$.

$C_f$ est en dessous de l'axe des abscisses sur $\left]-\infty; -1\right[ \cup \left]0; 1\right[$.
$C_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur $\left]-1; 0\right[ \cup \left]1; +\infty\right[$.

1. On développe $\left(x^3 - 1\right)^2 - 2 = \left(x^3\right)^2 - 2 \times x^3 \times 1 + 1^2 - 2 = x^6 - 2x^3 - 1$. C'est bien $f\left(x\right)$.

2. Variation sur $\left[1; +\infty\right[$ :
Soient $a, b$ deux réels tels que $1 \le a < b$.
La fonction cube est croissante, donc $1 \le a^3 < b^3$.
On soustrait $1$ : $0 \le a^3-1 < b^3-1$.
La fonction carré est croissante sur $\left[0; +\infty\right[$, donc $\left(a^3-1\right)^2 < \left(b^3-1\right)^2$.
On soustrait $2$ : $\left(a^3-1\right)^2-2 < \left(b^3-1\right)^2-2$, soit $f\left(a\right) < f\left(b\right)$.
La fonction $f$ est croissante sur $\left[1; +\infty\right[$.

Variation sur $\left]-\infty; 1\right]$ :
Soient $a, b$ deux réels tels que $a < b \le 1$.
La fonction cube est croissante, donc $a^3 < b^3 \le 1$.
On soustrait $1$ : $a^3-1 < b^3-1 \le 0$.
La fonction carré est décroissante sur $\left]-\infty; 0\right]$, donc $\left(a^3-1\right)^2 > \left(b^3-1\right)^2$.
On soustrait $2$ : $\left(a^3-1\right)^2-2 > \left(b^3-1\right)^2-2$, soit $f\left(a\right) > f\left(b\right)$.
La fonction $f$ est décroissante sur $\left]-\infty; 1\right]$.

3. On calcule le minimum : $f\left(1\right) = \left(1^3-1\right)^2-2 = -2$.