La fonction cube

La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On peut donc élever au cube en conservant l'ordre.

1. De $-1 < x \le 2$, on déduit $(-1)^3 < x^3 \le 2^3$, soit $-1 < x^3 \le 8$.

2. On multiplie l'encadrement précédent par -3 (on change le sens des inégalités) :
$-3 \times 8 \le -3x^3 < -3 \times (-1)$, soit $-24 \le -3x^3 < 3$.

3. On repart de $-1 < x^3 \le 8$. On multiplie par -1 puis on ajoute 1 :
$-8 \le -x^3 < 1$, puis $-8+1 \le 1-x^3 < 1+1$, soit $-7 \le 1-x^3 < 2$.

1. On factorise l'expression par $x$ :
$x(x^2 - 2x + 1) = 0$.
On reconnaît une identité remarquable : $x(x-1)^2 = 0$.
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, donc $x=0$ ou $(x-1)^2=0$.
Les solutions sont $x=0$ et $x=1$.

2. On étudie le signe de $f(x) = x(x-1)^2$. Un carré est toujours positif ou nul.

1. On développe $(x-1)(x^2+x+1) = x^3+x^2+x-x^2-x-1 = x^3-1$.
Donc $f(x) = x^3-1-x+1 = $ $x^3-x$.

2. On factorise $f(x) = x(x^2-1)$. On utilise une identité remarquable :
$f(x) = $ $x(x-1)(x+1)$.

3. On étudie le signe de $f(x)$ avec ses trois facteurs : $x$, $x-1$ et $x+1$. Les racines sont -1, 0 et 1.

$C_f$ est en dessous de l'axe des abscisses sur $]-\infty; -1[ \cup ]0; 1[$.
$C_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur $]-1; 0[ \cup ]1; +\infty[$.

1. On développe $(x^3 - 1)^2 - 2 = (x^3)^2 - 2 \times x^3 \times 1 + 1^2 - 2 = x^6 - 2x^3 - 1$. C'est bien $f(x)$.

2. Variation sur $[1; +\infty[$ :
Soient $a, b$ deux réels tels que $1 \le a < b$.
La fonction cube est croissante, donc $1 \le a^3 < b^3$.
On soustrait 1 : $0 \le a^3-1 < b^3-1$.
La fonction carré est croissante sur $[0; +\infty[$, donc $(a^3-1)^2 < (b^3-1)^2$.
On soustrait 2 : $(a^3-1)^2-2 < (b^3-1)^2-2$, soit $f(a) < f(b)$.
La fonction $f$ est croissante sur $[1; +\infty[$.

Variation sur $]-\infty; 1]$ :
Soient $a, b$ deux réels tels que $a < b \le 1$.
La fonction cube est croissante, donc $a^3 < b^3 \le 1$.
On soustrait 1 : $a^3-1 < b^3-1 \le 0$.
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty; 0]$, donc $(a^3-1)^2 > (b^3-1)^2$.
On soustrait 2 : $(a^3-1)^2-2 > (b^3-1)^2-2$, soit $f(a) > f(b)$.
La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty; 1]$.

3. On calcule le minimum : $f(1) = (1^3-1)^2-2 = -2$.