La fonction carré

1. En utilisant l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(\sqrt{5}-7)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \times \sqrt{5} \times 7 + 7^2 = 5 - 14\sqrt{5} + 49 = $ $54 - 14\sqrt{5}$.

2. On cherche $x$ tel que $x^2 = 54 - 14\sqrt{5}$. D'après la question précédente, on sait que $(\sqrt{5}-7)^2 = 54 - 14\sqrt{5}$.
Donc $x^2 = (\sqrt{5}-7)^2$. Les solutions sont $x = \sqrt{5}-7$ et $x = -(\sqrt{5}-7) = 7-\sqrt{5}$.
Les antécédents sont $\sqrt{5}-7$ et $7-\sqrt{5}$.

3. On calcule le carré de $3+\sqrt{6}$ :
$(3+\sqrt{6})^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6\sqrt{6} + 6 = 15 + 6\sqrt{6}$.
Comme $15 + 6\sqrt{6} \neq 15 + 3\sqrt{6}$, le nombre $3+\sqrt{6}$ n'est pas un antécédent.

1. Si $3 < x \le 7$ :
La fonction carré est croissante sur $[0; +\infty[$, donc sur $[3; 7]$. On peut élever au carré en conservant l'ordre.
• $9 < x^2 \le 49$
• On multiplie par 8 : $72 < 8x^2 \le 392$
• On ajoute 3 : $12 < x^2+3 \le 52$

2. Si $-4 \le x < -1$ :
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty; 0]$, donc sur $[-4; -1]$. On élève au carré en changeant le sens des inégalités.
• $(-1)^2 < x^2 \le (-4)^2$, soit $1 < x^2 \le 16$.
• On multiplie par 3 puis on ajoute 4 : $3 < 3x^2 \le 48$, donc $7 < 3x^2+4 \le 52$.
• On multiplie par -1 (on change le sens) puis on ajoute 3 : $-16 \le -x^2 < -1$, donc $-13 \le -x^2+3 < 2$.

1. $2x^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 = 18 \Leftrightarrow x^2 = 9$. Les solutions sont $x=3$ et $x=-3$.

2. $2x^4 - 18 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 9$. En posant $X=x^2$, on a $X^2=9$, donc $X=3$ ou $X=-3$.
$x^2=3$ donne $x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}$.
$x^2=-3$ n'a pas de solution réelle. Les solutions sont donc $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$.

3. Pour étudier le signe de $f(x) = 2x^2 - 18$, on factorise l'expression : $f(x) = 2(x^2 - 9) = 2(x-3)(x+3)$. On étudie ensuite le signe de chaque facteur.

4. $2x^4-18 \ge 0 \Leftrightarrow x^4 \ge 9 \Leftrightarrow x^2 \ge 3$ (car $x^2 \ge 0$).
Cela est vrai pour $x \ge \sqrt{3}$ ou $x \le -\sqrt{3}$.
L'ensemble des solutions est $]-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty[$.

1. Forme développée :
$f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) - 18 = 2x^2 - 12x + 18 - 18 = $ $2x^2 - 12x$.

2. Forme factorisée :
À partir de la forme développée : $f(x) = 2x(x-6)$.
À partir de la forme canonique : $f(x) = 2[(x-3)^2 - 9] = 2[(x-3)-3][(x-3)+3] = 2(x-6)x$.
La forme factorisée est $f(x)=2x(x-6)$.

3. Pour étudier le signe de $f(x)$, on utilise sa forme factorisée $f(x)=2x(x-6)$. Les racines sont $x=0$ et $x=6$.

La courbe $C_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x \in ]-\infty; 0[ \cup ]6; +\infty[$.
Elle est en dessous pour $x \in ]0; 6[$.