Fonctions linéaires et fonctions affines

1. Pour $f(x)=\tfrac12x$ : deux points faciles sont $(0,0)$ et $(4,2)$ car $f(0)=0$, $f(4)=2$. Tracer la droite joignant ces points ; elle passe par l'origine donc c'est une fonction linéaire.

2. Pour $g(x)=-2x+3$: ordonnée à l'origine $b=3$ (point $(0,3)$). Coefficient directeur $a=-2$. Un second point : $g(1)=1$ donc $(1,1)$ est sur la droite. Tracer la droite passant par $(0,3)$ et $(1,1)$.

3. Vérification des points : $A(4,2)$ : $f(4)=\tfrac12\times4=2$ donc $A$ appartient à $Df$.
$B(1,1)$ : $f(1)=0{,}5\neq1$ mais $g(1)=-2\times1+3=1$ donc $B$ appartient à $Dg$.
$C(0,3)$ : $f(0)=0\neq3$ et $g(0)=3$ donc $C$ appartient à $Dg$.

1. La fonction $f$ est une fonction affine, son expression est donc de la forme $f(x)=ax+b$. On a $b=2$ (car $f(0)=2$). Pour $x=2$, $f(2)=5$ donc $2a+2=5\Rightarrow 2a=3\Rightarrow a=\tfrac{3}{2}$. Ainsi $f(x)=\tfrac{3}{2}x+2$.

2. La fonction $g$ est une fonction affine, son expression est donc de la forme $g(x)=ax+b$. Le coefficient directeur est $a=\dfrac{3-(-1)}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$. Puis $b=g(1)-a\times1=-1-2=-3$. Donc $g(x)=2x-3$.

3. La fonction $h$ est une fonction affine, son expression est donc de la forme $h(x)=ax+b$. On a $b=-2$ (car $h(0)=-2$). Pour $x=4$, $h(4)=0$ donc $4a-2=0\Rightarrow a=\tfrac{1}{2}$. On obtient $h(x)=\tfrac12x-2$. Le coefficient directeur $a=\tfrac12$ est positif, donc la fonction $h$ est strictement croissante.

1. $a=3>0$ donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Tableau :

2. $a=-\tfrac{2}{3}<0$ donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Tableau :

3. $h(x)=5$ est constante ($a=0$). Le tableau montre une valeur constante :

1. Résoudre $x+2=-2x+8$. On obtient $3x=6\Rightarrow x=2$. Donc $y=f(2)=2+2=4$. Point d'intersection : $(2,4)$.

2. Lecture : $f(2)=4$ et $g(2)=-4+8=4$ → concorde.

3. Résoudre $x+2=-x+4\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1$. Alors $y=3$. Intersection : $(1,3)$.

1. Racine de $f$ : $2x-6=0\Rightarrow x=3$. Coefficient $a=2>0$ donc $f(x)>0$ pour $x>3$.

$x$	$-\infty$	$3$	$+\infty$
Signe de $f(x)$	$-$	$0$	$+$

2. Racine : $-3x+9=0\Rightarrow x=3$. Coefficient $a=-3<0$ donc $g(x)<0$ pour $x>3$.

$x$	$-\infty$	$3$	$+\infty$
Signe de $g(x)$	$+$	$0$	$-$

3. $\tfrac14 x+1>0\Rightarrow x>-4$. Donc $h(x)>0$ pour $x>-4$ (nulle en $x=-4$).